Question

（2008•宿遷）如圖，⊙O的直徑AB是4，過B點的直線MN是⊙O的切線，D、C是⊙O上的兩點，連接AD、BD、CD和BC．
（1）求證：∠CBN=∠CDB；
（2）若DC是∠ADB的平分線，且∠DAB=15°，求DC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AB為⊙O的直徑，得：∠ADB=90°，根據MN是⊙O的切線，可知：∠AMN=90°，根據同弧所對的圓周角相等，可知：∠ADC=∠ABC，從而證得：∠CBN=∠CDB；
（2）連接OD、OC，過點O作OE⊥CD于點E，根據圓周角定理，可求得∠BOC和∠DOB的度數，故可知：∠COD的度數，在等腰△OCD中，可將CD的長求出．
解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠ADC+∠CDB=90°，
∵MN切⊙O于點B，
∴∠ABN=∠ABC+∠CBN=90°，
∴∠ADC+∠CDB=∠ABC+∠CBN；
∵∠ADC=∠ABC，
∴∠CBN=∠CDB；

（2）解：如圖，連接OD、OC，過點O作OE⊥CD于點E；
∵CD平分∠ADB，
∴∠ADC=∠BDC，
∴弧AC=弧BC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°；
∵DC是∠ADB的平分線，
∴∠BDC=45°；
∴∠BOC=90°；
又∵∠DAB=15°，
∴∠DOB=30°，
∴∠DOC=120°
∵OD=OC，OE⊥CD，
∴∠DOE=60°
∴∠ODE=30°，
∵OD=2，
∴OE=1，DE=，
∴CD=2DE=2．
點評：本題主要考查圓周角定理及切線的性質．