Question

41名運動員所穿運動衣號碼是1，2，…，40，41這41個自然數(shù)，問：
（1）能否使這41名運動員站成一排，使得任意兩個相鄰運動員的號碼之和是質(zhì)數(shù)？
（2）能否讓這41名運動員站成一圈，使得任意兩個相鄰運動員的號碼之和都是質(zhì)數(shù)？
若能辦到，請舉一例；若不能辦到，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)數(shù)的特點，將數(shù)分為奇數(shù)和偶數(shù)兩部分，奇數(shù)由小到大排列，偶數(shù)由大到小排列，可滿足題意；
（2）根據(jù)數(shù)的排列，推出任何相鄰兩數(shù)必為一奇一偶，與現(xiàn)有20個偶數(shù)，21個奇數(shù)矛盾，證明辦不到．
解答：解：（1）能辦到．注意到41與43都是質(zhì)數(shù)，據(jù)題意，要使相鄰兩數(shù)的和都是質(zhì)數(shù)，顯然，它們不能都是奇數(shù)，因此，在這排數(shù)中只能一奇一偶相間排列，不妨先將奇數(shù)排成一排：1，3，5，7，41，在每兩數(shù)間留有空檔，然后將所有的偶數(shù)依次反序插在各空檔中，得1，40，3，38，5，36，7，34，8，35，6，37，4，39，2，41，這樣任何相鄰兩數(shù)之和都是41或43，滿足題目要求．

（2）不能辦到．若把1，2，3，40，41排成一圈，要使相鄰兩數(shù)的和為質(zhì)數(shù)，這些質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)，故圓圈上任何相鄰兩數(shù)必為一奇一偶，但現(xiàn)有20個偶數(shù)，21個奇數(shù)，總共有41個號碼，由此引出矛盾，故不能辦到．
（注站成一排和站成一圈雖只一字之差，但卻有著質(zhì)的不同，因為一圈形成了首尾相接的情形．）
點評：此題考查了質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念及其排列組合，將數(shù)組分為兩類，進行適當排列是解題的關鍵．