Question

【題目】矩形中，線段繞矩形外一點順時針旋轉，旋轉角為，使點的對應點落在射線上，點的對應點在的延長線上．

（1）如圖1，連接、、、，則與的大小關系為______________．

（2）如圖2，當點位于線段上時，求證：；

（3）如圖3，當點位于線段的延長線上時，，，求四邊形的面積．

Answer 1

【答案】（1）相等；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）由旋轉得：旋轉角相等，可得結論；
（2）證明△AOB≌△EOF（SAS），得∠OAB=∠OEF，根據平角的定義可得結論；
（3）如解圖，根據等腰三角形的性質得：∠OFB=∠OBF=30°，∠OAE=∠AEO=30°，根據30度角的直角三角形的性質分別求得OB、OG、BF，勾股定理求得BE的長，再根據三角形面積公式即可求得結論．

（1）由旋轉得：∠AOE=∠BOF=，
故答案為：相等；

（2）∵，

∴，

在△AOB和△EOF中

，

∴△AOB≌△EOF（SAS），

∴，

∵OA=OE，

∴，

∴

；

（3）如圖，過點O作 ，垂足為G，

根據旋轉的性質知：∠BOF=120°，∠AOB=∠EOF，OB=OF，

△BOF中，∠OFB=∠OBF=30°，
∴∠ABO=60°，
△AOE中，∠AOE=120°，OA=OE，
∴∠OAE=∠AEO=30°，
∴∠AOB=90°，
在△AOB和△EOF中

，

∴△AOB≌△EOF（SAS），

∴，

在中，∠AOB=90°，，∠OAB=30°，

∴，

在中，∠OGB=90°，，∠OBG=30°，

∴，，

∴，

在中，∠EBF=90°，，，

∴，

∴

．