Question

（2011•南崗區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在x、y軸的正半軸上，頂點(diǎn)D在x軸的負(fù)半軸上．已知∠C=∠CDA=90°，AB=10，對(duì)角線BD平分∠ABC，且tan∠DBO=

1

3

（1）求直線AB的解析式；
（2）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿著線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿著線段DA終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)Q作QH⊥AB，垂足為點(diǎn)H，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一的也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)線段朋的長(zhǎng)度為y，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，求y與t的函數(shù)關(guān)系式；（請(qǐng)直接寫出自變量t的取值范圍）
（3）在（2）的條件下，將△APQ沿直線PQ折疊后，AP對(duì)應(yīng)線段為A’P，當(dāng)t為何值時(shí)，A’P∥CD，并通過計(jì)算說明，此時(shí)以

15

7

為半徑的ΘP與直線QH的位置關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行線性質(zhì)和梯形性質(zhì)求出BA=AD，設(shè)OD=a，根據(jù)勾股定理得出（10-a）²+（3a）²=10²，求出a，得出A、B的坐標(biāo)，設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，代入求出即可；
（2）求出DQ=4t，AQ=10-4t，AP=5t，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出

AH

AQ

=

4

5

，求出AH的值，當(dāng)P與H重合時(shí)，根據(jù)cos∠QAP=

AP

AQ

，求出t，①0≤t＜

40

41

，根據(jù)y=PH=AH-AP代入求出y；②

40

41

＜t≤2，根據(jù)y=AP-AQ代入求出y；
（3）當(dāng)0≤t＜

40

41

時(shí)，根據(jù)平行線和銳角三角函數(shù)cos∠QA′K=

3

4

，代入求出t，求出y，根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系求出即可；當(dāng)

40

41

＜t≤2時(shí)，點(diǎn)A′在x軸的下方，A′P與x軸交于點(diǎn)K，同理可求得t，根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系求出即可．

解答：解：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠C=∠CDA=90°，
∴BC∥AD，
∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，
∴AD=AB=10，
在△BDO中，設(shè)OD=a，則OB=3a，
在Rt△ABO中，（10-a）²+（3a）²=10²，
∴a=2，a=0（舍去），
∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（8，0），（0，6），
設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，∴

8k+b=0 b=6

，
解得：k=-

3

4

，b=6，
∴直線AB的解析式是y=-

3

4

x+6．

（2）由題意得：DQ=4t，AQ=10-4t，AP=5t，
cos∠PAO=

OB

AB

=

8

10

=

4

5

，
在Rt△AQH中，

AH

AQ

=

4

5

，
∴AH=

4

5

（10-4t），
當(dāng)P與H重合時(shí)，cos∠QAH=cos∠QAP=

AP

AQ

=

5t

10-4t

=

4

5

，
解得：t=

40

41

，
①0≤t＜

40

41

，y=PH=AH-AP=

4

5

（10-4t）-5t=

41

5

t+8；
②

40

41

＜t≤2，y=AP-AQ=

41

5

t-8；
綜合上述：求得的解析式是

y=- 41 5 t+8(0≤t＜ 40 41 ) y= 41 5 t-8( 40 41 ＜t≤2)

．

（3）如圖1，當(dāng)0≤t＜

40

41

時(shí)，延長(zhǎng)A′P與x軸交于點(diǎn)K，
∵A′P∥CD，
∴∠AKP=90°，
在Rt△APK中，AK=4t，PK=3t，
QK=AQ-AK=10-4t-4t=10-8t，
在Rt△A′KQ中，∠A′=∠AA′P，
∴AP=5t，
tan∠QA′K=

QK

A′K

=

10-8t

5t+3t

=

3

4

，
∴t=

5

7

，此時(shí)，y=-

41

5

×

5

7

+8=

15

7

，
此時(shí)等于⊙P的半徑，
所以⊙P和直線相切；
當(dāng)

40

41

＜t≤2時(shí)，點(diǎn)A′在x軸的下方，A′P與x軸交于點(diǎn)K，
同理可求得：KQ=8t-10，
sin∠A′=sin∠BAC=

3

5

=

8t-10

10-4t

，
∴t=

20

13

，
此時(shí)y=

41

5

×

20

13

-8=

60

13

＞

15

7

，
所以⊙P與直線相離．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)直線與圓的位置關(guān)系，勾股定理，平行線的性質(zhì)，直角梯形，翻折變換，銳角三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，此題綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度，對(duì)學(xué)生提出較高的要求，通過做此題培養(yǎng)了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)分析問題和解決問題的能力．