Question

如圖，P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA=6，PC=8，PB=10，若△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，得到△AP′C，則∠APC=

150

°．

Answer 1

分析：連接PP′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得△AP′C和△APB全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得P′A=PA，P′C=PB，然后證明△APP′是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的每一個(gè)角都是60°可得∠APP′=60°，每一條邊都相等可得PP′=PA，再根據(jù)勾股定理逆定理證明△P′PC是直角三角形，然后根據(jù)∠APC=∠APP′+∠P′PC代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．

解答：解：如圖，連接PP′，
∵△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AP′C，
∴△AP′C≌△APB，
∴P′A=PA=6，P′C=PB=10，
∵旋轉(zhuǎn)角是60°，
∴△APP′是等邊三角形，
∴∠APP′=60°，PP′=PA=6，
∵PP′²+PC²=6²+8²=100，P′C²=PB²=10²=100，
∴PP′²+PC²=P′C²，
∴△P′PC是以∠P′PC為直角的直角三角形，
∴∠APC=∠APP′+∠P′PC=60°+90°=150°．
故答案為：150．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理逆定理的應(yīng)用，作輔助線構(gòu)造出等邊三角形與直角三角形是解題的關(guān)鍵．