Question

如圖，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=

7

2

的拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（6，0）和B（0，4）．
（1）求拋物線(xiàn)解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)E（x，y）是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，四邊形OEAF是以O(shè)A為對(duì)角線(xiàn)的平行四邊形，求平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
①當(dāng)平行四邊形OEAF的面積為24時(shí)，請(qǐng)判斷平行四邊形OEAF是否為菱形？
②是否存在點(diǎn)E，使平行四邊形OEAF為正方形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）因?yàn)閽佄锞�(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是x=

7

2

，
設(shè)解析式為y=a（x-

7

2

）²+k．
把A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，得

a(6- 7 2 )2+k=0 a(0- 7 2 )2+k=4

，
解得a=

2

3

，k=-

25

6

．
故拋物線(xiàn)解析式為y=

2

3

（x-

7

2

）²-

25

6

，頂點(diǎn)為（

7

2

，-

25

6

）．

（2）∵點(diǎn)E（x，y）在拋物線(xiàn)上，位于第四象限，且坐標(biāo)適合y=

2

3

（x-

7

2

）²-

25

6

，
∴y＜0，
即-y＞0，-y表示點(diǎn)E到OA的距離．
∵OA是OEAF的對(duì)角線(xiàn)，
∴S=2S_△OAE=2×

1

2

×OA•|y|=-6y=-4（x-

7

2

）²+25．
因?yàn)閽佄锞�(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)是（1，0）和（6，0），
所以自變量x的取值范圍是1＜x＜6．
①根據(jù)題意，當(dāng)S=24時(shí)，即-4（x-

7

2

）²+25=24．
化簡(jiǎn)，得（x-

7

2

）²=

1

4

．
解得x₁=3，x₂=4．
故所求的點(diǎn)E有兩個(gè)，
分別為E₁（3，-4），E₂（4，-4），
點(diǎn)E₁（3，-4）滿(mǎn)足OE=AE，
所以平行四邊形OEAF是菱形；
點(diǎn)E₂（4，-4）不滿(mǎn)足OE=AE，
所以平行四邊形OEAF不是菱形；
②當(dāng)OA⊥EF，且OA=EF時(shí)，平行四邊形OEAF是正方形，
此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)只能是（3，-3），
而坐標(biāo)為（3，-3）的點(diǎn)不在拋物線(xiàn)上，
故不存在這樣的點(diǎn)E，使平行四邊形OEAF為正方形．