Question

如圖①，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝45°
，則有結(jié)論EF＝BE＋FD成立；                                                                                                  【小題1】如圖②，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF是∠BAD的一半，那么結(jié)論EF＝BE＋FD是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
【小題2】若將（1）中的條件改為：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，則結(jié)論EF＝BE＋FD是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

Answer 1

【小題1】結(jié)論EF= BE＋FD成立.
延長(zhǎng)EB到G，使BG=DF，連接AG.

∵∠ABG＝∠D＝90°, AB＝AD，
∴△ABG≌△ADF.
∴AG＝AF且∠1＝∠2．
∴∠1+∠3＝∠2+∠3=∠BAD．
∴∠GAE=∠EAF．
又AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF.∴EG＝EF．
即EF=BE+BG=BE＋FD．
【小題1】結(jié)論EF=BE＋FD不成立，應(yīng)當(dāng)是EF=BE－FD．
在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG．

應(yīng)當(dāng)是EF=BE－FD．
在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°,∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
∵AB＝AD，
∴△ABG≌△ADF.∴AG＝AF．
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠3＝∠2+∠3=∠BAD．
∴∠GAE=∠EAF．
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF.∴EG＝EF
即EF=BE－BG=BE－FD．

解析【小題1】結(jié)論仍然成立．延長(zhǎng)CB到G，使BG=FD，根據(jù)已知條件容易證明△ABG≌△ADF，由此可以推出∠BAG=∠DAF，AG=AF，而∠EAF=∠BAD，所以得到∠DAF+∠BAE=∠EAF，進(jìn)一步得到∠EAF=∠GAE，現(xiàn)在可以證明△AEF≌△AEG，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)就可以證明結(jié)論成立；
【小題1】結(jié)論不成立，應(yīng)為EF=BE-DF，如圖在CB上截取BG=FD，由于∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，可以得到∠B=∠ADF，再利用已知條件可以證明△ABG≌△ADF，由此可以推出∠BAG=∠DAF，AG=AF，而∠EAF=∠BAD，所以得到∠EAF=∠GAE，現(xiàn)在可以證明△AEF≌△AEG，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)就可以證明EF=EG=EB-BG=EB-DF．