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1.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,D為BC邊上一點,CD=3,過A,C,D三點的⊙O與斜邊AB交于點E,連結(jié)DE.
(1)求證:△BDE∽△BAC;
(2)求△ACD外接圓的直徑的長;
(3)若AD平分∠CAB,求出BD的長.

分析 (1)由圓周角定理可證∠AED=90°,所以∠DEB=90°,再由公共角相等即可證明△BDE∽△BAC;
(2)由圓周角定理可證明AD是△ACD外接圓的直徑,在直角三角形ACD中利用勾股定理可求出AD的長,問題得解;
(3)設BD=x,則BC=CD+x,由勾股定理可求出AB的長,由(1)可知△BDE∽△BAC,利用相似三角形的性質(zhì):對應邊的比值相等可得到關于x的比例式,進而可求出x的值,BD的長得解.

解答 解:(1)∵∠ACB=90°,
∴AD是圓的直徑,
∴∠AED=90°,
∴∠DEB=90°,
又∵∠B=∠B,
∴△BDE∽△BAC;
(2)∵∠ACB=90°,
∴AD是圓的直徑,
∵AC=6,CD=3,
∴AD=AC2+CD2=45=35;
(3)∵AD平分∠CAB,AE⊥DE,AC⊥CD,
∴CD=DE=3,
設BD=x,則BC=CD+x=3+x,
在Rt△ACB中,AB=AC2+BC2=62+3+x2
∵△BDE∽△BAC,
DEAC=BDAB
36=x62+3+x2,
∴4x2=62+(3+x)2
解得:x=5或-3(舍),
∴BD=5.

點評 本題考查了和圓有關的綜合性題目,用到的知識點有圓周角定理、勾股定理、角平分線的性質(zhì)定理、相似三角形的判定和性質(zhì)以及解一元二次方程,題目的綜合性較強,難度中等,利用方程思想解決幾何題目是解題的關鍵.

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①如圖1,當CE=3BC時,求BFFG的值;
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10.如圖①所示,四邊形ABCD中,∠ADC的角平分線DE與∠BCD的角平分線CA相交于E點,已知∠ACD=32°,∠CDE=58°.
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(3)延長DE交BC于點F,連結(jié)AF,如圖②,當AC=8,DF=6時,求四邊形ADCF的面積.

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11.若∠A的補角加上30°是∠A的余角的5倍,則∠A的度數(shù)為( �。�
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