Question

已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，關(guān)于x的方程a（1-x²）+2bx+c（1+x²）=0有兩個相等實根，且3c=a+3b
（1）試判斷△ABC的形狀；
（2）求sinA+sinB的值．

Answer 1

分析：（1）先把方程整理為一般式，再根據(jù)判別式的意義得到△=4b²-4（c-a）（a+c）=0，則a²+b²=c²，然后根據(jù)勾股定理的逆定理判斷三角形形狀；
（2）由于a²+b²=c²，3c=a+3b，消去a得（3c-3b）²+b²=c²，變形為（4c-5b）（c-b）=0，則b=

4

5

c，a=

3

5

c，根據(jù)正弦的定義得sinA=

a

c

，sinB=

b

c

，所以sinA+sinB=

a+b

c

，然后把b=

4

5

c，a=

3

5

c代入計算即可．

解答：解：（1）方程整理為（c-a）x²+2bx+a+c=0，
根據(jù)題意得△=4b²-4（c-a）（a+c）=0，
∴a²+b²=c²，
∴△ABC為直角三角形；

（2）∵a²+b²=c²，3c=a+3b
∴（3c-3b）²+b²=c²，
∴（4c-5b）（c-b）=0，
∴4c=5b，即b=

4

5

c，
∴a=3c-3b=

3

5

c
∵sinA=

a

c

，sinB=

b

c

，
∴sinA+sinB=

a+b

c

=

3 5 c+ 4 5 c

c

=

7

5

．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了勾股定理的逆定理和銳角三角函數(shù)的定義．