Question

已知圓內(nèi)接四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD，AB＞CD，若CD=4，則AB的弦心距是______．

Answer 1

如圖，設(shè)AC與BD的交點為O，過點O作GH⊥CD于G，交AB于H；作MN⊥AB于M，交CD于點N．
在Rt△COD中，∠COD=90°，OG⊥CD；
∴∠DOG=∠DCO；
∵∠GOD=∠BOH，∠DCO=∠ABO，
∴∠ABO=∠BOH，即BH=OH，同理可證，AH=OH；
即H是Rt△AOB斜邊AB上的中點．
同理可證得，M是Rt△COD斜邊CD上的中點．
設(shè)圓心為O′，連接O′M，O′H；則O′M⊥CD，O′H⊥AB；
∵MN⊥AB，GH⊥CD；
∴O′H∥MN，OM∥GH；即四邊形O′HOM是平行四邊形；
因此OM=O′H．由于OM是Rt△OCD斜邊CD上的中線，所以O(shè)M=O′H=

1

2

CD=2．
故答案是：2．