Question

【題目】定義：若以一條線段為對(duì)角線作正方形，則稱該正方形為這條線段的“對(duì)角線正方形”．例如，圖①中正方形ABCD即為線段BD的“對(duì)角線正方形”．如圖②，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿折線CA﹣AB以5cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合時(shí)，作線段PB的“對(duì)角線正方形”，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），線段PB的“對(duì)角線正方形”的面積為S（cm2）．

（1）如圖③，借助虛線的小正方形網(wǎng)格，畫出線段AB的“對(duì)角線正方形”．

（2）當(dāng)線段PB的“對(duì)角線正方形”有兩邊同時(shí)落在△ABC的邊上時(shí)，求t的值．

（3）當(dāng)點(diǎn)P沿折線CA﹣AB運(yùn)動(dòng)時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

（4）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)線段PB的“對(duì)角線正方形”至少有一個(gè)頂點(diǎn)落在∠A的平分線上時(shí)，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）S=；

（4）t的值為s 或1s或s

【解析】試題分析：（1）t=0時(shí)，正方形的對(duì)角線為4，由此即可求出面積．

（2）如圖1中，當(dāng)線段PB的“對(duì)角線正方形”有兩邊同時(shí)落在△ABC的邊上時(shí)，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，由PE∥AB，可得 ==，解得x=，再求出PC的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題．

（3）分兩種情形分別求解①如圖2中，當(dāng)0≤t≤1時(shí)，作PH⊥BC于H．求出PB2即可．②如圖3中，當(dāng)1＜t＜時(shí)，求出PB2即可．

（4）分三種情形討論①如圖4中，當(dāng)D、E在∠BAC的平分線上時(shí)．②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，滿足條件，此時(shí)t=1s．③如圖5中，當(dāng)點(diǎn)E在∠BAC的角平分線上時(shí)，分別求解即可．

試題解析：解：（1）線段AB的“對(duì)角線正方形”如圖所示：

（2）如圖1中，當(dāng)線段PB的“對(duì)角線正方形”有兩邊同時(shí)落在△ABC的邊上時(shí)，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x．∵PE∥AB，∴=，∴=，解得x=，∴PE=，CE=4﹣=，∴PC==，∴t==s；

（3）①如圖2中，當(dāng)0≤t≤1時(shí)，作PH⊥BC于H．

∵PC=5t，則HC=4t，PH=3t．在Rt△PHB中，PB2=PH2+BH2=（3t）2+（4﹣4t）2=25t2﹣32t+16，∴S=PB2=t2﹣16t+8．

②如圖3中，當(dāng)1＜t＜時(shí)，∵PB=8﹣5t，∴S=PB2=t2﹣40t+32．

綜上所述：S=；

（4）①如圖4中，當(dāng)D、E在∠BAC的平分線上時(shí)，易知AB=AP=3，PC=2，∴t=s．

②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，滿足條件，此時(shí)t=1s．

③如圖5中，當(dāng)點(diǎn)E在∠BAC的角平分線上時(shí)，作EH⊥BC于H．

易知EB平分∠ABC，∴點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，四邊形EOBH是正方形，OB=EH=EO=BH==1（直角三角形內(nèi)切圓半徑公式），∴PB=2OB=2，∴AP=1，∴t=s．綜上所述：在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)線段PB的“對(duì)角線正方形”至少有一個(gè)頂點(diǎn)落在∠CAB的平分線上時(shí)，t的值為 s 或1s或 s；