Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E在BC邊上，將△DCE繞某點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)得到△CBF，點(diǎn)F恰好在AB邊上．

（1）請(qǐng)畫出旋轉(zhuǎn)中心G （保留畫圖痕跡），并連接GF，GE；

（2）若正方形的邊長為2a，當(dāng)CE＝　 　時(shí)，S△FGE＝S△FBE；當(dāng)CE＝　 　 時(shí)，S△FGE＝3S△FBE．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）a ; 或

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)，點(diǎn)C與點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)E點(diǎn)F是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，分別作線段BC、EF的垂直平分線的交點(diǎn)就是旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)G．
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得出FG=EG，∠FGE=90°，設(shè)EC=x，利用勾股定理及三角形的面積公式建立等量關(guān)系，就可以求出結(jié)論．

（1）如圖：分別作線段BC、EF的垂直平分線的交點(diǎn)就是旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)G．

（2）∵G是旋轉(zhuǎn)中心，且四邊形ABCD是正方形，
∴FG=EG，∠FGE=90°
∵S△FGE=,且由勾股定理，得2FG2=EF2，
∴S△FGE=,

設(shè)EC=x，則BF=x，BE=2a-x，在Rt△BEF中，由勾股定理，得
EF2=x2+（2a-x）2，
∴S△FGE=,

∵S△FBE=,

①當(dāng)S△FGE=S△FBE時(shí)，則

,

解得：x=a；
∴EC=a．
②當(dāng)S△FGE=3S△FBE時(shí)，則,

∴2x2-4ax+a2=0，
解得：x=或x=,

∴EC=或EC=.

考查了旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形的面積及勾股定理的運(yùn)用．