Question

如圖，△ABC為直角三角形，∠C=90°，BC=2cm，∠A=30°；四邊形DEFG為矩形，DE=cm，EF=6cm，且點(diǎn)C、B、E、F在同一條直線上，點(diǎn)B與點(diǎn)E重合．將Rt△ABC以每秒1cm的速度沿矩形DEFG的邊EF向右平移，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)停止移動(dòng)，設(shè)Rt△ABC與矩形DEFG重疊部分的面積為y，Rt△ABC平移的時(shí)間為x （s）．
（1）求邊AC的長(zhǎng)；
（2）求y 與x 的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)Rt△ABC移動(dòng)至重疊部分的面積為cm²時(shí)，將Rt△ABC沿邊AB向上翻折，得到Rt△ABC′，請(qǐng)求出Rt△ABC′與矩形DEFG重疊部分的周長(zhǎng)．
（4）點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿矩形DEFG的邊DE、EF、FG運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)G停止．其中點(diǎn)P在DE邊上的速度為，在EF邊上的速度為1cm/s，在FG邊上的速度為．若點(diǎn)P與△ABC同時(shí)運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P落在△ABC內(nèi)部（不含邊）時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）在直角三角形ABC中，根據(jù)BC的長(zhǎng)和∠A的與余切值即可求出AC的長(zhǎng)；
（2）本題要找出幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：當(dāng)C與B重合、A與D重合時(shí)，x=2．當(dāng)B與F重合時(shí)，x=6；當(dāng)C與F重合時(shí)，x=8；因此本題可分三種情況：
①當(dāng)0＜x＜2時(shí)，此時(shí)重合部分是個(gè)直角三角形且與三角形ABC相似，可用它們的相似比求出重合部分的面積，
②當(dāng)2≤x≤6時(shí)，重合部分是三角形ACB，因此其面積就是三角形ABC的面積，
③當(dāng)6＜x＜8時(shí)，重合部分是個(gè)直角梯形，可參照①的思路進(jìn)行求解；
（3）可將y的值分別代入（2）的三種情況中，求出符合條件的x的值，然后用相似三角形和解直角三角形的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解即可；
（4）當(dāng)P開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，一定在△ABC的外部，在（1）的情況，設(shè)在t秒時(shí)P在邊AB上，BE=tcm，EM=2-2t，根據(jù)△ABC∽△MBE，求得t的值，當(dāng)t大于這個(gè)值時(shí)，P在△ABC的內(nèi)部，到P到達(dá)BC邊上時(shí)，不滿足條件，一直到P到達(dá)F點(diǎn)，再以后開始在△ABC的內(nèi)部，直到P到達(dá)AB邊上，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得此時(shí)t的值，即可確定．
解答： 解：（1）AC=BC•cot∠A=2（cm）；

（2）如圖（1）當(dāng)0＜x＜2時(shí)=（）²，
∴y=××2×2即y=x²；
當(dāng)2≤x≤6時(shí)y=S_△ABC=2．
如圖（2）當(dāng)6＜x＜8時(shí)，AB交FG于H，
=（）²，
∴S_△FHB=（x-6）²．
∴y=S_△ABC-S_△FHB=2-（x-6）²=-x²+6x-16．
綜上所述：y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=；

（3）當(dāng)0＜x＜2時(shí)，x²=，
解得：x=，
如圖（3）AB交DE于點(diǎn)M，AC′交DE于點(diǎn)N，
則∠AMN=∠CAB=∠BAC′=30°，
∴MN=AN．
∵在Rt△MEB中，MB=2BE=2，
∴重疊部分的周長(zhǎng)=MN+NC′+BM=AN+N′C+C′B+BM=AC′+BC′+BM=2+2+2=4+2（cm）．
當(dāng)6＜x＜8時(shí)，令y=，則2-（x-6）²=，
則（x-6）²=1，
解得：x₁=7，x₂=5（舍去）．
如圖（4）Rt△MFB中，F(xiàn)B═7-6=1，
則MF=1×cot30°=，AM=MB=2，
設(shè)MN=AN=a，則NG=，
則+a+=2，
解得：a=．
故重疊部分周長(zhǎng)=C_△AMN=2a+AM=+2（cm）；

（4）當(dāng)P開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，一定在△ABC的外部，在（1）的情況，設(shè)在t秒時(shí)P在邊AB上，BE=tcm，EM=2-2t，
根據(jù)△ABC∽△MBE，則，即=，
解得：t=，
當(dāng)＜t＜1時(shí)，P一定在△ABC的內(nèi)部；
當(dāng)t=1時(shí)，P在BC的中點(diǎn)上，且在EF段，P與△ABC運(yùn)動(dòng)的速度相同，因而在1≤t≤8時(shí)，P始終是BC的中點(diǎn)．
當(dāng)t=7秒時(shí)，P到達(dá)F點(diǎn)，再運(yùn)動(dòng)則一定在△ABC的內(nèi)部，根據(jù)圖（2），△ABC∽△MFB，
則，即=，
解得：t=．
則8＜t＜8時(shí)，P在△ABC的內(nèi)部．
總之，＜t＜1或7＜t＜8時(shí)P在△ABC的內(nèi)部．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直角三角形和矩形的性質(zhì)、圖形的翻折變換、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，要注意（2）（3）小題要分類討論，不要漏解．