Question

【題目】先閱讀下列材料，然后解后面的問題．

材料：一個三位自然數 （百位數字為a，十位數字為b，個位數字為c），若滿足a+c=b，則稱這個三位數為“歡喜數”，并規(guī)定F（）=ac．如374，因為它的百位上數字3與個位數字4之和等于十位上的數字7，所以374是“歡喜數”，∴F（374）=3×4=12．

（1）對于“歡喜數”，若滿足b能被9整除，求證：“歡喜數”能被99整除；

（2）已知有兩個十位數字相同的“歡喜數”m，n（m＞n），若F（m）﹣F（n）=3，求m﹣n的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）99或297．

【解析】試題分析：（1）首先由題意可得a+c=b，將歡喜數展開，因為要證明“歡喜數”能被99整除，所以將展開式中100a拆成99a+a，這樣展開式中出現了a+c，將a+c用b替代，整理出最終結果即可；（2）首先設出兩個歡喜數m、n，表示出F（m）、F（n）代入F（m）﹣F（n）=3中，將式子變形分析得出最終結果即可.

試題解析：

（1）證明：∵為歡喜數，

∴a+c=b．

∵=100a+10b+c=99a+10b+a+c=99a+11b，b能被9整除，

∴11b能被99整除，99a能被99整除，

∴“歡喜數”能被99整除；

（2）設m=，n=（且a1＞a2），

∵F（m）﹣F（n）=a1c1﹣a2c2=a1（b﹣a1）﹣a2（b﹣a2）=（a1﹣a2）（b﹣a1﹣a2）=3，a1、a2、b均為整數，

∴a1﹣a2=1或a1﹣a2=3．

∵m﹣n=100（a1﹣a2）﹣（a1﹣a2）=99（a1﹣a2），

∴m﹣n=99或m﹣n=297．

∴若F（m）﹣F（n）=3，則m﹣n的值為99或297．