Question

已知：在平面直角坐標系xOy中，過點P(0，2)任作一條與拋物線y＝ax2(a＞0)交于兩點的直線，設交點分別為A，B，若∠AOB＝． (1) 判斷A，B兩點縱坐標的乘積是否為一個確定的值，并說明理由 (2) 確定拋物線y＝ax2(a＞0)的解析式 (3) 當△AOB的面積為時，求直線AB的解析式

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：A，B兩點縱坐標的乘積是一個確定的值．理由如下： 設直線AB的解析式為y＝kx＋2，由得ax2－kx－2＝0．③ 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2，則x1，x2為方程③的兩個實數(shù)根．所以x1＋x2＝，x1·x2＝－，所以y1·y2＝·＝a2·(x1·x2)＝a2·＝4，所以A，B兩點縱坐標的乘積為常數(shù)4，是一個確定的值． 　　解題指導：將A，B兩點的縱坐標表示出來，再根據(jù)其特點判斷
(2)	解法1：作AM⊥x軸于點M，BN⊥x軸于點N(如圖)． 因為∠AOB＝，所以∠AOM＋∠BON＝．又因為∠OBN＋∠BON＝，所以∠AOM＝∠OBN，所以Rt△AOM∽Rt△OBN，所以＝(注：寫為＝(同樣正確)，所以＝，所以－x1·x2＝y(tǒng)1·y2，所以－＝4，a＝，所以所求拋物線的解析式為y＝x2． 　　解法2：當直線AB平行于x軸時(如圖)，由拋物線的對稱性可知，A，B兩點關于y軸對稱． 因為∠AOB＝，所以△AOB為等腰直角三角形，所以AP＝PB＝OP＝2，所以B(2，2)．將x＝2，y＝2代入y＝ax2，得a＝，所以所求拋物線的解析式為y＝x2． 　　解題指導：利用相似三角形對應線段成比例的性質，并將各點的坐標表示出來，即可解出a的值．
(3)	解：作AE⊥y軸于點E，BF⊥y軸于點F(如圖)． 　　設直線AB的解析式為y＝kx＋2，所以AE＝MO，F(xiàn)B＝ON．因為S△AOB＝S△AOP＋S△BOP＝OP．AE＋OP·FB＝×2×(－x1＋x2)＝x2－x1＝＝＝＝2．又因為S△AOB＝4，所以＝2．由算術平方根的慨念，可得k2＝4，k＝±2．所以直線AB的解析式為y＝2x＋2或y＝－2x＋2． 　　解題指導：將△AOB的面積用直線AB的斜率表示出來，再根據(jù)△AOB的面積為4求解出斜率即可．