Question

已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長(zhǎng)線(xiàn)）于點(diǎn)M、N．
（1）如圖1，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)，有BM+DN=MN．當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)，如圖2，請(qǐng)問(wèn)圖1中的結(jié)論還是否成立？如果成立，請(qǐng)給予證明，如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線(xiàn)段BM，DN和MN之間有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）在MB的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取BE=DN，連接AE，根據(jù)正方形性質(zhì)得出AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABC=∠ABE=90°，證△ABE≌△ADN推出AE=AN；∠EAB=∠NAD，求出∠EAM=∠MAN，根據(jù)SAS證△AEM≌△ANM，推出ME=MN即可；
（2）在DN上截取DE=MB，連接AE，證△ABM≌△ADE，推出AM=AE；∠MAB=∠EAD，求出∠EAN=∠MAN，根據(jù)SAS證△AMN≌△AEN，推出MN=EN即可．
解答：解：（1）圖1中的結(jié)論仍然成立，即BM+DN=MN，理由為：
如圖2，在MB的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取BE=DN，連接AE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABC=∠ABE=90°，
∵在△ABE和△ADN中
，
∴△ABE≌△ADN（SAS）．
∴AE=AN；∠EAB=∠NAD，
∵∠DAB=90°，∠MAN=45°，
∴∠DAN+∠BAM=45°，
∴∠EAM=∠BAM+∠EAB=45°=∠MAN，
∵在△AEM和△ANM中
，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME=MN，
∴MN=ME=BE+BM=DN+BM，
即DN+BM=MN；

（2）猜想：線(xiàn)段BM，DN和MN之間的等量關(guān)系為：DN-BM=MN．
證明：如圖3，在DN上截取DE=MB，連接AE，
∵由（1）知：AD=AB，∠D=∠ABM=90°，BM=DE，
∴△ABM≌△ADE（SAS）． 
∴AM=AE；∠MAB=∠EAD，
∵∠MAN=45°=∠MAB+∠BAN，
∴∠DAE+∠BAN=45°，
∴∠EAN=90°-45°=45°=∠MAN，
∵在△AMN和△AEN中
，
∴△AMN≌△AEN（SAS），
∴MN=EN，
∵DN-DE=EN，
∴DN-BM=MN．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目，證明過(guò)程類(lèi)似，培養(yǎng)了學(xué)生的猜想能力和分析歸納能力．