Question

在△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6，M是AB上的動點（不與A、B重合），過M作MN//BC交AC于點N，以MN為直徑作⊙O，設AM=x

（1）用含x的代數(shù)式表示△AMN的面積S；

（2）M在AB上運動，當⊙O與BC相切時（如圖①），求x的值；

（3）M在AB上運動，當⊙O與BC相交時（如圖②），在⊙O上取一點P，使PM//AC，連接PN，PM交BC于E，PN交BC于點F，設梯形MNFE的面積為y，求y關于x的函數(shù)關系式。

 

Answer 1

解：（1）∵MN//BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C

        ∴△AMN∽△ABC

        ∴，即，∴

        ∵AM⊥AN，∴

   （2）設BC與⊙O相切于點D，連接AO、OD，

則AO=OD=MN

    在Rt△ABC中，

    又∵△AMN∽△ABC，

   ∴，即，∴，∴

   過M作MQ⊥BC于Q，則

   則△BMQ∽△ABC，

   ∴，∴

   ∵

   ∴

（3）∵∠A=90°，PM//AC，∠MPN=90°

    ∴四邊形AMPN是矩形…………………（7分）

    ∴PN=AM=x

    又∵四邊形BFNM是平行四邊形，

    ∴FN=BM=8-x，PF=PN-FN=x-(8-x)=2x-8…（8分）

    又Rt△PEF∽Rt△ABC，∴，  

    ∴

    ∵

    ∴………（10分）