Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向B點(diǎn)運(yùn)動，同時點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動，其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個點(diǎn)也停止運(yùn)動，當(dāng)PBQ存在時，求運(yùn)動多少秒時，PBQ的面積最大？最大面積是多少？

（3）在運(yùn)動過程中，是否存在某一時刻t，使以P，B，Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）運(yùn)動1秒使PBQ的面積最大，最大面積是；（3）存在，或

【解析】

（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式，列出關(guān)于系數(shù)a、b的解析式，通過解方程組求得它們的值；

（2）設(shè)運(yùn)動時間為t秒．利用三角形的面積公式列出S△PBQ與t的函數(shù)關(guān)系式．利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行解答；

（3）根據(jù)余弦函數(shù)，可得關(guān)于t的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解：（1）把點(diǎn)A（﹣2，0）、B（4，0）分別代入y＝ax2+bx﹣3（a≠0），得

，

解得，

所以該拋物線的解析式為：；

（2）設(shè)運(yùn)動時間為t秒，則AP＝3t，BQ＝t．

∴PB＝6﹣3t．

由題意得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3）．

在RtBOC中，．

如圖1，過點(diǎn)Q作QH⊥AB于點(diǎn)H．

∴QH∥CO，

∴BHQ∽BOC，

∴，即，

∴．

∴．

當(dāng)PBQ存在時，0＜t＜2

∴當(dāng)t＝1時，．

答：運(yùn)動1秒使PBQ的面積最大，最大面積是；

（3）如圖2，

在RtOBC中，．

設(shè)運(yùn)動時間為t秒，則AP＝3t，BQ＝t．

∴PB＝6﹣3t．

當(dāng)∠PQB＝90°時，，

即，

化簡，得17t＝24，

解得，

當(dāng)∠BPQ＝90°時，

，

化簡，得19t＝30，

解得，

綜上所述：或時，以P，B，Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形．