點P在銳角△ABC的邊上運動，試確定點P的位置，使PA+PB+PC最小，并證明你的結(jié)論．
【答案】
分析：作出△ABC最短邊上的高，根據(jù)圖形特點得PA+PB+PC=PA+BC，QA+QB+QC=QA+BC，從而推出PA＜QA，BP'＞AP，
到構(gòu)造矩形B'B
oP'P
o，得到B'B＞BB
o，通過計算可得P'A+P'B+P'C＜PA+PB+PC．
解答：
解：當(dāng)點P在銳角△ABC最短邊上的高的垂足的位置時，
PA+PB+PC最�。�
證明：如圖，P為△ABC一邊BC邊，
上的高的垂足，而Q為BC邊上的任一點，
∵PA+PB+PC=PA+BC，QA+QB+QC=QA+BC，PA＜QA，
∴PA+PB+PC＜QA+QB+QC
又設(shè)AC為△ABC最短邊，作這邊上的高BP′（如圖），
可知BP'＞AP．
在BP′上截取B
oP′=AP，在BC上截取B′C=AC，
作B′P
o⊥AC．垂足為P
o，
連接B′B
o．
∵Rt△APC≌Rt△B'P
oC，
∴AP=B'P
o=B
oP'．
∵四邊形B'B
oP'P
o是矩形，
∴∠B'B
oB=90°，
在△B'B
oB中，B'B＞BB
o，
∵P'A+P'B+P'C=BB
o+AP+AC，PA+PB+PC=BP'+AC+AP，
∴P'A+P'B+P'C＜PA+PB+PC．
點評：此題考查了最短路徑問題，靈活運用三角形的兩邊之和大于第三邊、直角邊小于斜邊等知識，通過不等式的加減，即可得出結(jié)論．
優(yōu)等生題庫系列答案
自選題：若P為△ABC所在平面上一點，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，則點P叫做△ABC的費馬點．