Question

如圖，直線y=-

4

3

x-4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求OA、OB的長；
（2）已知點(diǎn)C（0，1），在x軸上是否存在點(diǎn)D，使得以D、C、O為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若存在，請直接寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線y=-

4

3

x-4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，利用圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)求法分別得出即可；
（2）根據(jù)相似三角形的判定，以及AO，BO，CO的長度，得出對應(yīng)邊關(guān)系求出即可．

解答：解：（1）∵直線y=-

4

3

x-4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，
∴當(dāng)x=0，y=-4，當(dāng)y=0，x=-3，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為：（-3，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，-4）；
∴OA=3，OB=4；

（2）當(dāng)△D₁OC∽△AOB，
則

OD1

AO

=

CO

BO

，
∵點(diǎn)C（0，1），∴CO=1，
∵OA=3，OB=4；
∴

OD1

3

=

1

4

，
解得：OD₁=

3

4

，
故D點(diǎn)坐標(biāo)為：（

3

4

，0），
當(dāng)△COD₂∽△AOB，
則

D2O

BO

=

CO

AO

，

D2O

4

=

1

3

，
解得：D₂O=

4

3

，
故D點(diǎn)坐標(biāo)為：（

4

3

，0），
根據(jù)當(dāng)D點(diǎn)在x軸負(fù)半軸時，D點(diǎn)坐標(biāo)為：（-

3

4

，0），（-

4

3

，0），也可以使得以D、C、O為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，
綜上所述：
使得以D、C、O為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似的D點(diǎn)坐標(biāo)為：（-

3

4

，0），（-

4

3

，0），（

3

4

，0），（

4

3

，0）．

點(diǎn)評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)求法，根據(jù)D、C、O為頂點(diǎn)的三角形與△AOB對應(yīng)頂點(diǎn)不確定，分別討論得出是解題關(guān)鍵．