Question

【題目】頂點(diǎn)為（﹣ ，﹣ ）的拋物線與y軸交于點(diǎn)A（0，﹣4），E（0，b）（b＞﹣4）為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E的直線y=x+b與拋物線交于B、C兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）①如圖1，當(dāng)b=0時(shí)，求證：E是線段BC的中點(diǎn)；
②當(dāng)b≠0時(shí)，E還是線段BC的中點(diǎn)嗎？說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：據(jù)題意可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+ ）2﹣ ．

把x=0，y=﹣4代入，得﹣4=a（0+ ）2﹣ ，

解得a=1，

∴拋物線的解析式為y=（x+ ）2﹣ =x2+x﹣4．

（2）

①證明：分別過點(diǎn)B、C作BM⊥y軸于點(diǎn)M，CN⊥y軸于點(diǎn)N．（如圖1）

當(dāng)b=0時(shí)，直線BC為y=x，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合．

由方程組 ，

得 ， ．

則B、C的坐標(biāo)分別為（2，2）、（﹣2，﹣2），

即BM=CN=2．

又BM⊥y軸，CN⊥y軸，

∴BM∥CN，

∴△BME∽△CNE，

即BE：CE=BM：CN，

故BE=CE．

②解：E還是線段BC的中點(diǎn)．理由如下：

如圖2，分別過點(diǎn)B、C作BP⊥y軸于點(diǎn)P，CQ⊥y軸于點(diǎn)Q．

由方程組 ，

得 ， ．

則B、C的坐標(biāo)分別為（ ， +b），（﹣ ，﹣ +b），

即BP=CQ= ．

同樣可得△BPE∽△CQE，

即BE：CE=BP：CQ，

故BE=CE

【解析】（1）因?yàn)橹�道拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，所以可設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+ x）2﹣ ，把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出a的值即可求出拋物線的解析式；（2）①分別過點(diǎn)B、C作BM⊥y軸于點(diǎn)M，CN⊥y軸于點(diǎn)N，當(dāng)b=0時(shí)，直線BC為y=x，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合，聯(lián)立直線和拋物線的解析式可求出B，C點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到BM=CN=2，再通過證明△BME∽△CNE，由相似三角形的性質(zhì)可得：BE：CE=BM：CN，故BE=CE；②當(dāng)b≠0時(shí)，E還是線段BC的中點(diǎn)，分別過點(diǎn)B、C作BP⊥y軸于點(diǎn)P，CQ⊥y軸于點(diǎn)Q，其他過程同①．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形才能正確解答此題．