Question

如圖1，在半徑為5的⊙O中，弦AB=8，點C是劣弧上一動點，點C不與點A、B重合，CD⊥AB于D，以點C為圓心，線段CD的長為半徑作圓．
（1）若設CD=x，AC•BC=y，請求出y與x之間的函數關系，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）當⊙C的面積最大時，在圖2中過點A作⊙C的切線AG切⊙C 于點P，交DC的延長線于點G，DC的延長線交⊙C于點F
①試判斷直線AG與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
②求線段GF的長．

Answer 1

解：（1）如圖1，連接CO，并延長交⊙O于點E，連接BE．
∵CE是直徑，
∴∠CBE=90°．
又∵CD⊥AB于D，
∴∠CDA=90°．
即∠CBE=∠CDA．
在⊙O中，可知∠CAB=∠E．
∴△ACD∽△ECB．
∴，
即AC•BC=CD•EC．
∴y=10x．
由題意可知，自變量x的取值范圍為0＜x≤2．

（2）①直線AG與⊙O相切．
由題意可知，當點C是的中點時，⊙C的面積最大．
此時，OC⊥AB．∴AB與⊙C相切．
∵AG切⊙C于點P，AC平分∠GAB．即∠GAC=∠BAC．
連接CP，AO．
∵AP=AD，PC=DC，AC=AC，
∴△APC≌△ADC．
∴∠ACP=∠ACD．
∵AO=CO，
∴∠ACO=∠OAC．
∵AG切⊙C于點P，
∴PC⊥AG于G．
∴∠GAC+∠ACP=90°．
∴∠GAC+∠OAC=90°．
∴OA⊥AG．
∴AG與⊙O相切．
②∵PC⊥AG，OA⊥AG，∴PC∥AO．
∴△PGC∽△AGO．
∴．
由題意可知，PC=FC=2，AO=CO=5，GC=GF+FC．
∴．
解得．
分析：（1）如圖1，連接CO，并延長交⊙O于點E，連接BE．由題意得∠CBE=∠CDA．可證明△ACD∽△ECB．則再化為乘積式AC•BC=CD•EC，即可得出y=10x．由題意可知，自變量x的取值范圍為0＜x≤2．
（2）①直線AG與⊙O相切．由題意可得出AB與⊙C相切．根據AG切⊙C于點P，AC平分∠GAB．即∠GAC=∠BAC．連接CP，AO．可證明△APC≌△ADC．則∠ACP=∠ACD．由AG切⊙C于點P，則PC⊥AG于G．從而得出∠GAC+∠OAC=90°．則OA⊥AG．即AG與⊙O相切．
②可證明PC∥AO．則△PGC∽△AGO．即．代入數據得出GF．
點評：本題是一道綜合性的題目，考查了切線的性質、相似三角形的判定和性質以及全等三角形的判定和性質，是中檔題，難度不大．