Question

如圖在Rt△AOB中，∠BAO=90°，O為坐標原點，B在x軸正半軸上，A在第一象限．OA和AB的長是方程兩根，且OA＜AB．
（1）求直線AB的解析式；
（2）將△AOB沿垂直于x軸的線段CD折疊（點C在x軸上，且不與點B重合，點D在線段AB上），使點B落在x軸上，對應點為E，設點C的坐標為（x，0）．
①是否存在這樣的點C，使得△AED為直角三角形？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由；
②設△CDE與△AOB重疊部分的面積為S，直接寫出S與點C的橫坐標x之間的函數(shù)關系式（包括自變量x的取值范圍）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意可直接求出OA、AB的長，又∠BAO=90°，由勾股定理可求OB，作OB邊上的高AF，用面積法及勾股定理可求0F、AF，從而得出A點坐標，根據“兩點法”求直線AB解析式．
（2）△AED按直角頂點分為兩類：①A點為直角頂點，此時E、O兩點重合，C點為OB的中點；②E點為直角頂點，過點A作AF⊥x軸于F，利用等腰三角形的性質解題．
解答：解：（1）解方程得兩根為，
因為OA和AB的長是方程兩根，且OA＜AB
所以，
而∠BAO=90°，則
作AF⊥x軸于F，如圖
則
那么
∴A（1，2），B（5，0）．
設直線AB的解析式為y=kx+b，則有，
解得．
∴直線AB的解析式為y=-x+．

（2）①存在．
分兩種情況討論：
�。┊擱t△AED以點A為直角頂點時，點E與原點O重合，如圖．
∵OC=BC=OB=
∴C₁（，0）；
ⅱ）當Rt△AED以點E為直角頂點時，如圖，過點A作AF⊥x軸于F．OF=1．
∵∠AED=90°，
∴∠AEO+∠DEC=90°．
∵∠DEC=∠DBC，
∴∠AEO+∠DBC=90°．
又∵∠AOE+∠DBC=90°，
∴∠AOE=∠AEO．
∴△AOE是等腰三角形，
∴OE=2OF=2，
∴BE=3．
∴EC=，
∴OC=OE+EC=2+=．
∴C₂（，0）．
綜上所述，存在這樣的點C，使得△AED為直角三角形，點C的坐標為：
C₁（，0）和C₂（，0）．
②當1≤x＜時，△CDE與△AOB重疊部分的面積即為△CDE的面積，由直角三角形的面積公式即可求解；
S與x之間的函數(shù)關系式如下：
S=．
點評：本題考查了點的坐標的求法，待定系數(shù)法求直線解析式，折疊問題及分類討論的數(shù)學思想．