Question

已知△ABC中，∠ACB=90゜，AC=BC，過C點任作直線l，過A點、B點分別作l的垂線AM、BN，垂足分別為M、N．若AM=2，BN=4，求MN的長．

Answer 1

解：圖1中，MN=6，圖2中，MN=2．
∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴∠AMC=∠CNB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
在△AMC和△CNB中，
，
∴△AMC≌△CNB（AAS），
∴AM=CN，MC=NB，
∵MN=NC+CM，
∴MN=AM+BN=2+4=6；

（2）∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴∠AMC=∠CNB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
在△AMC和△CNB中，
，
∴△AMC≌△CNB（AAS），
∴AM=CN，MC=NB，
∵MN=CM-CN，
∴MN=BN-AM=4-2=2．
分析：（1）利用互余關(guān)系證明∠MAC=∠NCB，又∠AMC=∠CNB=90°，AC=BC，故可證△AMC≌△CNB，從而有AM=CN，MC=BN，利用線段的和差關(guān)系證明結(jié)論，進而得出答案；
（2）類似于（1）的方法，證明△AMC≌△CNB，從而有AM=CN，MC=BN，可推出AM、BN與MN之間的數(shù)量關(guān)系，進而得出答案．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是利用互余關(guān)系推出對應(yīng)角相等，證明三角形全等．