Question

如圖，在矩形中，已知、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，為的中點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)是平分線上的一個(gè)動點(diǎn)（不與點(diǎn)重合）．

（1）試證明：無論點(diǎn)運(yùn)動到何處，總與相等；

（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到與點(diǎn)的距離最小時(shí)，試確定過三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（3）設(shè)點(diǎn)是（2）中所確定拋物線的頂點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到何處時(shí)，的周長最小？求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)和的周長；

（4）設(shè)點(diǎn)是矩形的對稱中心，是否存在點(diǎn)，使？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

 

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴．

又∵是的角平分線，∴，

∴，∴．

（2）過點(diǎn)作的平分線的垂線，垂足為，點(diǎn)即為所求．

易知點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2），故，作，

 

∵是等腰直角三角形，∴，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，3）．

∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，

∴設(shè)拋物線的解析式為．

又∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，

∴有  解得

∴拋物線的解析式為．

（3）由等腰直角三角形的對稱性知D點(diǎn)關(guān)于的平分線的對稱點(diǎn)即為點(diǎn)．

連接，它與的平分線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)（因?yàn)?sub>，而兩點(diǎn)之間線段最短），此時(shí)的周長最�。�

∵拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)，

設(shè)所在直線的解析式為，則有，解得．

∴所在直線的解析式為．

點(diǎn)滿足，解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為．

的周長即是．

（4）存在點(diǎn)，使．其坐標(biāo)是或．