Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意三點(diǎn)A，B，C，給出如下定義：若矩形的任何一條邊均與某條坐標(biāo)軸平行或重合，且A，B，C三點(diǎn)都在矩形的內(nèi)部或邊界上，則稱該矩形為點(diǎn)A，B，C的外延矩形，點(diǎn)A，B，C的所有外延矩形中，面積最小的矩形稱為點(diǎn)A，B，C的最佳外延矩形．例如，圖①中的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3CD3，都是點(diǎn)A，B，C的外延矩形，矩形A3B3CD3是點(diǎn)A，B，C的最佳外延矩形．

（1）如圖②，已知A（﹣1，0），B（3，2），點(diǎn)C在直線y＝x﹣1上，設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為t．

①若t＝，則點(diǎn)A，B，C的最佳外延矩形的面積為多少？

②若點(diǎn)A，B，C的最佳外延矩形的面積為9，求t的值．

（2）如圖③，已知點(diǎn)M（4，0），N（0，），P（x，y）是拋物線y＝﹣x2+2x+3上一點(diǎn)，求點(diǎn)M，N，P的最佳外延矩形面積的最小值，以及此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的取值范圍；

（3）已知D（1，0）．若Q是拋物線y＝﹣x2﹣2mx﹣m2+2m+1的圖象在﹣2≤x≤1之間的最高點(diǎn)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，4m），設(shè)點(diǎn)D，E，Q的最佳外延矩形的面積為S，當(dāng)4≤S≤6時(shí)，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①8；②t的值為或；（2）最小值為14，此時(shí)P點(diǎn)橫坐標(biāo)x的取值范圍為：0≤x≤1﹣或1+≤x≤3；（3）m的取值范圍為：≤m≤或﹣≤m≤﹣1

【解析】

（1）①以AB為對(duì)角線的矩形面積即為所求．
②分兩種情況討論：C在x軸下方；C在B點(diǎn)右上方．分別列方程求解即可．
（2）分別令y等于M、N的縱坐標(biāo)，解出方程并結(jié)合圖形即可得出答案．
（3）先求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后討論拋物線對(duì)稱軸與所給的x的范圍的關(guān)系，對(duì)于每一種情況，分別表示出S，再根據(jù)S的范圍解不等式組即可求出m的取值范圍．

（1）①如圖②，作矩形ANBM，

∵t＝，∴C（，），

∵A（﹣1，0），B（3，2），∴C在矩形ANBM內(nèi)部，

此時(shí)，矩形ANBM是點(diǎn)A，B，C的最佳外延矩形．

S矩形ANBM＝AMBM＝（3+1）（2﹣0）＝8．

故答案為8．

②若C在x軸下方，則：4[2﹣（t﹣1）]＝9，解得t＝．

若C在B點(diǎn)右上方，則：（t+1）（t﹣1）＝9，解得t1＝﹣（舍），t2＝．

綜上所述，t的值為或．

（2）令y＝﹣x2+2x+3＝，解得x1＝1+，x2＝1﹣，

令y＝﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，

點(diǎn)M，N，P的最佳外延矩形面積的最小值為4×＝14，

此時(shí)P點(diǎn)橫坐標(biāo)x的取值范圍為：0≤x≤1﹣或1+≤x≤3．

（3）∵y＝﹣x2﹣2mx﹣m2+2m+1＝﹣（x+m）2+2m+1，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣m，2m+1）．

①當(dāng)1≤﹣m即m≤﹣1時(shí)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣m2）

若﹣m2＜4m，則m＞0（舍）或m＜﹣4，此時(shí)S＝m2，

∵4≤S≤6，∴﹣≤m≤﹣2（舍）．

若﹣m2≥4m，則﹣4≤m≤0，此時(shí)S＝﹣4m，

∴4≤﹣4m≤6，解得：﹣≤m≤﹣1，

②當(dāng)﹣2＜﹣m＜1即﹣1＜m＜2時(shí)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)就是拋物線頂點(diǎn)，S＝4m（m+1），

∴4≤4m（m+1）≤6，解得≤m≤，

③當(dāng)﹣m≤﹣2即m≥2時(shí)，4m≥8，不合題意，舍去．

綜上所述，m的取值范圍為：≤m≤或﹣≤m≤﹣1．