Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于點D，在線段AD上任到一點P（點A除外），過點P作EF∥AB，分別交AC、BC于點E、F，作PQ∥AC，交AB于點Q，連接QE與AD相交于點G．

（1）求證：四邊形AQPE是菱形．

（2）四邊形EQBF是平行四邊形嗎？若是，請證明；若不是，請說明理由．

（3）直接寫出P點在EF的何處位置時，菱形AQPE的面積為四邊形EQBF面積的一半．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）結(jié)論：四邊形EQBF是平行四邊形．見解析；（3）當(dāng)P為EF中點時，S菱形AEPQ＝S四邊形EFBQ.

【解析】

（1）先證出四邊形AEPQ為平行四邊形，關(guān)鍵是找一組鄰邊相等，由AD平分∠BAC和PE∥AQ可證∠EAP＝∠EPA，得出AE＝EP，即可得出結(jié)論；

（2）只要證明EQ∥BC，EF∥AB即可；

（3）S菱形AEPQ＝EPh，S平行四邊形EFBQ＝EFh，若菱形AEPQ的面積為四邊形EFBQ面積的一半，則EP＝EF，因此P為EF中點時，S菱形AEPQ＝S四邊形EFBQ．

（1）證明：∵EF∥AB，PQ∥AC，

∴四邊形AEPQ為平行四邊形，

∴∠BAD＝∠EPA，

∵AB＝AC，AD平分∠CAB，

∴∠CAD＝∠BAD，

∴∠CAD＝∠EPA，

∴EA＝EP，

∴四邊形AEPQ為菱形．

（2）解：結(jié)論：四邊形EQBF是平行四邊形．

∵四邊形AQPE是菱形，

∴AD⊥EQ，即∠AGQ＝90°，

∵AB＝AC，AD平分∠BAC，

∴AD⊥BC即∠ADB＝90°，

∴EQ∥BC

∵EF∥QB，

∴四邊形EQBF是平行四邊形．

（3）解：當(dāng)P為EF中點時， S菱形AEPQ＝S四邊形EFBQ

∵四邊形AEPQ為菱形，

∴AD⊥EQ，

∵AB＝AC，AD平分∠BAC，

∴AD⊥BC，

∴EQ∥BC，

又∵EF∥AB，

∴四邊形EFBQ為平行四邊形．

作EN⊥AB于N，如圖所示：

∵P為EF中點

則S菱形AEPQ＝EPEN＝EFEN＝S四邊形EFBQ．