Question

已知：如圖，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm．點(diǎn)O從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB以每秒

3

cm的速度向B點(diǎn)方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了t秒（t＞0）時(shí)，以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓與邊AC相切于點(diǎn)D，與邊AB相交于E、F兩點(diǎn)．過E作EG⊥DE交射線BC于G．
（1）若E與B不重合，問t為何值時(shí)，△BEG與△DEG相似？
（2）問：當(dāng)t在什么范圍內(nèi)時(shí)，點(diǎn)G在線段BC上當(dāng)t在什么范圍內(nèi)時(shí)，點(diǎn)G在線段BC的延長線上？
（3）當(dāng)點(diǎn)G在線段BC上（不包括端點(diǎn)B、C）時(shí)，求四邊形CDEG的面積S（cm²）關(guān)于時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式，并問點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了幾秒鐘時(shí)，S取得最大值最大值為多少？

Answer 1

分析：（1）連接OD，DF．那么OD⊥AC，則∠AOD=60°，∠AED=30°．由于∠DEG=90°，因此∠BEG=60°，因此本題可分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)∠EDG=60°，∠DGE=30°時(shí)，∠BGD=∠BGE+∠EGD=60°．這樣∠BGD和∠ACB相等，那么G和C重合．
②當(dāng)∠DGE=60°時(shí)，可在直角△AOD中，根據(jù)∠A的度數(shù)和AO的長表示出AD的長，也就能表示出CD的長，由于∠A=∠AED=30°，那么AD=DE，可在直角△DEG中，用AD的長表示出DG，進(jìn)而根據(jù)DG∥AB得出的關(guān)于CD，AD，DG，AB的比例關(guān)系式即可求出此時(shí)t的值．
（2）本題可先求出BG的表達(dá)式，然后令BG＞BC，即可得出G在BC延長線上時(shí)t的取值范圍．
（3）由于四邊形CGED不是規(guī)則的四邊形，因此其面積可用△ABC的面積-△ADE的面積-△BEG的面積來求得．在前兩問中已經(jīng)求得AD，AE，BE，BG的表達(dá)式，那么就不難得出這三個(gè)三角形的面積．據(jù)此可求出S，t的函數(shù)關(guān)系式．根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和自變量的取值范圍即可求出S的最大值及對(duì)應(yīng)的t的值．

解答：解：（1）連接OD，DF．
∵AC切⊙O于點(diǎn)D，
∴OD⊥AC．
在Rt△OAD中，∠A=30°，OA=

3

t，
∴OD=OF=

3

2

t，AD=OA•cosA=

3t

2

．
又∵∠FOD=90°-30°=60°，
∴∠AED=30°，∴AD=ED=

3t

2

．
∵DE⊥EG，
∴∠BEG=60°，
△BEG與△DEG相似．
∵∠B=∠GED=90°，
①當(dāng)∠EGD=30°，
CE=2BE=2（6

3

-

3

2

t）則∠BGD=60°=∠ACB，此時(shí)G與C重合，

DE=

3t

2

=AD，CD=12-

3t

2

，BE=6

3

-

3

2

t，
∵△BEG∽△DEC，
∴

CE

CD

=

BE

DE

，
∴

2(6 3 - 3 2 t)

12- 3t 2

=

6 3 - 3 2 t

3t 2

，
t=

8

3

；
②當(dāng)∠EGD=60°．
∴DG⊥BC，DG∥AB．
在Rt△DEG中，∠DEG=90°，DE=

3t

2

，
∴DG=

3

t．
在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=6，
∴AC=12，AB=6

3

，
∴CD=12-

3t

2

．
∵DG∥AB，
∴

DG

AB

=

CD

AC

解得t=

24

7

．
答：當(dāng)t為

8

3

或

24

7

時(shí)，△BEG與△EGD相似；

（2）∵AC切⊙O于點(diǎn)D，
∴OD⊥AC．
在Rt△OAD中，∠A=30°，OA=

3

t，
∴∠AED=30°，∴DE⊥EG，
∴∠BEG=60°．
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6，
∴AB=6

3

，BE=6

3

-

3 3

2

t．
Rt△BEG中，∠BEG=60°，
∴BG=BE•tan60°=18-

9

2

t．
當(dāng)0≤18-

9

2

t≤6，即

8

3

≤t≤4時(shí)，點(diǎn)G在線段BC上；
當(dāng)18-

9

2

t＞6，即0＜t＜

8

3

時(shí)，點(diǎn)G在線段BC的延長線上；

（3）過點(diǎn)D作DM⊥AB于M．
在Rt△ADM中，∠A=30°，
∴DM=

1

2

AD=

3

4

t．
∴S=S_△ABC-S_△AED-S_△BEG
=36

3

-

63 3

16

t²-27

3

t
=-

63 3

16

（t-

24

7

）²+

72 3

7

（

8

3

＜t＜4）．
所以當(dāng)t=

24

7

時(shí)，s取得最大值，最大值為

72 3

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、相似三角形的判定、圖形面積的求法以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)．