Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ADB=90°，AB=2AD，BD的垂直平分線分別交AB，CD于點E，F，垂足為O．

（1）求tan ∠ABD的值；

（2）求證：OE=OF；

（3）連接DE，BF，若AD=6，求DEBF的周長．

Answer 1

【答案】(1) tan∠ABD的值為;(2)見解析；（3）24

【解析】

（1）根據(jù)勾股定理和三角函數(shù)解答即可；

（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)證明即可；

（3）先證四邊形DEBF是菱形，得到DE=EB=BF=DF．再證∠ABD=30°，進而得到△ADE是等邊三角形，得到AE=AD=DE=6，即可得出結(jié)論．

（1）設(shè)AD=x，∴AB=2AD=2x．

∵∠ADB=90°，∴BD===，∴tan ∠ABD=；

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，∴∠1=∠2．

∵EF是BD的中垂線，∴OD=OB，∠3=∠4=90°，∴△DOF≌△BOE，∴OE=OF；

（3）由（2）得：OE=OF，OD=OB，∴四邊形DEBF是平行四邊形．

∵EF⊥BD，∴四邊形DEBF是菱形，∴DE=EB=BF=DF．

∵tan ∠ABD=，∴∠ABD=30°，∴∠A=60°，∠EDB=∠ABD=30°，∴∠ADE=90°－30°=60°，∴△ADE是等邊三角形，∴AE=AD=DE=6，∴DEBF的周長=4DE=24．