【答案】
分析:(1)分別利用待定系數(shù)法求兩函數(shù)的解析式:把A(3,0)B(0,-3)分別代入y=x
2+mx+n與y=kx+b,得到關(guān)于m、n的兩個方程組,解方程組即可;
(2)設(shè)點P的坐標是(t,t-3),則M(t,t
2-2t-3),用P點的縱坐標減去M的縱坐標得到PM的長,即PM=(t-3)-(t
2-2t-3)=-t
2+3t,然后根據(jù)二次函數(shù)的最值得到
當(dāng)t=-

=

時,PM最長為

=

,再利用三角形的面積公式利用S
△ABM=S
△BPM+S
△APM計算即可;
(3)由PM∥OB,根據(jù)平行四邊形的判定得到當(dāng)PM=OB時,點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形,然后討論:當(dāng)P在第四象限:PM=OB=3,PM最長時只有

,所以不可能;當(dāng)P在第一象限:PM=OB=3,(t
2-2t-3)-(t-3)=3;當(dāng)P在第三象限:PM=OB=3,t
2-3t=3,分別解一元二次方程即可得到滿足條件的t的值.
解答:解:(1)把A(3,0)B(0,-3)代入y=x
2+mx+n,得


解得

,
所以拋物線的解析式是y=x
2-2x-3.
設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b,
把A(3,0)B(0,-3)代入y=kx+b,得

,
解得

,
所以直線AB的解析式是y=x-3;
(2)設(shè)點P的坐標是(t,t-3),則M(t,t
2-2t-3),
因為p在第四象限,
所以PM=(t-3)-(t
2-2t-3)=-t
2+3t,
當(dāng)t=-

=

時,二次函數(shù)的最大值,即PM最長值為

=

,
則S
△ABM=S
△BPM+S
△APM=

=

.
(3)存在,理由如下:
∵PM∥OB,
∴當(dāng)PM=OB時,點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形,
①當(dāng)P在第四象限:PM=OB=3,PM最長時只有

,所以不可能有PM=3.
②當(dāng)P在第一象限:PM=OB=3,(t
2-2t-3)-(t-3)=3,解得t
1=

,t
2=

(舍去),所以P點的橫坐標是

;
③當(dāng)P在第三象限:PM=OB=3,t
2-3t=3,解得t
1=

(舍去),t
2=

,所以P點的橫坐標是

.
所以P點的橫坐標是

或

.
點評:本題考查了二次函數(shù)的綜合題:先利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,然后根據(jù)解析式表示點的坐標,再利用坐標表示線段的長,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求線段的最大值.同時考查了平行四邊形的判定定理以及一元二次方程的解法.