如圖,已知拋物線(xiàn)C1:的頂點(diǎn)為P,與x軸相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是
.
(1)求點(diǎn)坐標(biāo)及
的值;
(2)如圖(1),拋物線(xiàn)C2與拋物線(xiàn)C1關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),將拋物線(xiàn)C2向左平移,平移后的拋物線(xiàn)記為C3,C3的頂點(diǎn)為M,當(dāng)點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)A成中心對(duì)稱(chēng)時(shí),求C3的解析式;
(3)如圖(2),點(diǎn)Q是x軸負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn),將拋物線(xiàn)C1繞點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線(xiàn)C4.拋物線(xiàn)C4的頂點(diǎn)為N,與x軸相交于E、F兩點(diǎn)(點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊),當(dāng)以點(diǎn)P、N、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí),求頂點(diǎn)N的坐標(biāo).
解:(1)由拋物線(xiàn)C1:得頂點(diǎn)P的坐標(biāo)(2,5)………….1分
∵點(diǎn)A(-1,0)在拋物線(xiàn)C1上∴
.………………1分
(2)連接PM,作PH⊥x軸于H,作MG⊥x軸于G..
∵點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)A成中心對(duì)稱(chēng),
∴PM過(guò)點(diǎn)A,且PA=MA..
∴△PAH≌△MAG..
∴MG=PH=5,AG=AH=3.
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(
,5).………………………2分
∵拋物線(xiàn)C2與C1關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),拋物線(xiàn)C3由C2平移得到
∴拋物線(xiàn)C3的表達(dá)式. …………1分
(3)∵拋物線(xiàn)C4由C1繞x軸上的點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°得到
∴頂點(diǎn)N、P關(guān)于點(diǎn)Q成中心對(duì)稱(chēng).
由(2)得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為5.
設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為(m,5),作PH⊥x軸于H,
作NG⊥x軸于G,作PR⊥NG于R.∵旋轉(zhuǎn)中心Q在x軸上,
∴EF=AB=2AH=6.
∴EG=3,點(diǎn)E坐標(biāo)為(,0),H坐標(biāo)為(2,0),R坐標(biāo)為(m,-5).
根據(jù)勾股定理,得
①當(dāng)∠PNE=90º時(shí),PN2+ NE2=PE2,解得m=,∴N點(diǎn)坐標(biāo)為(
,5)……2分
②當(dāng)∠PEN=90º時(shí),PE2+ NE2=PN2,解得m=,∴N點(diǎn)坐標(biāo)為(
,5). …… 2分
③∵PN>NR=10>NE,∴∠NPE≠90º ……2分
綜上所得,當(dāng)N點(diǎn)坐標(biāo)為(,5)或(
,5)時(shí),以點(diǎn)P、N、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形.
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