Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）．
（1）試求出拋物線的解析式；
（2）問(wèn)：在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一個(gè)點(diǎn)Q，使得△QAC的周長(zhǎng)最小，試求出△QAC的周長(zhǎng)的最小值，并求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）現(xiàn)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P從拋物線的頂點(diǎn)T出發(fā)，在對(duì)稱軸上以1個(gè)單位長(zhǎng)度每秒的速度向y軸的正方向運(yùn)動(dòng)，試問(wèn)，經(jīng)過(guò)幾秒后，△PAC是等腰三角形？

Answer 1

（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），
∴把此三點(diǎn)代入得

a+b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得

a=1 b=-4 c=3

，
故拋物線的解析式為，y=x²-4x+3；

（2）點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)即為點(diǎn)B，
連接B、C，交x=2于點(diǎn)Q，
可得直線BC：
y=-x+3，與對(duì)稱軸交點(diǎn)Q（2，1），BC=3

2

，
可得△QAC周長(zhǎng)為

10

+3

2

．

（3）設(shè)t秒后△PAC是等腰三角形，
因?yàn)镻在對(duì)稱軸上，
所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，t-1）于是
①當(dāng)PA=CA時(shí)；根據(jù)勾股定理得：（2-1）²+（t-1）²=1²+3²；
解得t=4秒或t=-2秒（負(fù)值舍去）．
②PC=PA時(shí)；根據(jù)勾股定理得：2²+（t-4）²=（2-1）²+（t-1）²；
解得t=3秒；
③CP=CA時(shí)；根據(jù)勾股定理得：2²+（t-4）²=1²+3²；
解得t=（4+

6

）秒或t=（4-

6

）秒
所以經(jīng)過(guò)4秒，或3秒，或4+

6

秒，或4-

6

秒時(shí)，△PAC是等腰三角形．