Question

如圖，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，OA，OC分別在x，y軸上，點D在OA上，且CD=AD．
（1）求直線CD的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求經(jīng)過B，C，D三點的拋物線的關(guān)系式；
（3）在上述拋物線上位于x軸下方的圖象上，是否存在一點P，使△PBC的面積等于矩形OABC的面積的？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：
（1）設(shè)OD=x，則CD=AD=8-x，
∴（8-x）²=x²+16，
得x=3，所以點D的坐標(biāo)是（3，0），又點C的坐標(biāo)是（0，4），
設(shè)直線CD的關(guān)系式為y=kx+b，
把D，C的坐標(biāo)代入關(guān)系式，有，
∴k=-．
∴直線CD的函數(shù)關(guān)系式是y=-x+4．

（2）由題意得B，C，D三點的坐標(biāo)分別為（8，4），（0，4），（3，0），
設(shè)拋物線的關(guān)系式為y=ax²+bx+c，則
解得a=，b=-，c=4．
拋物線的關(guān)系式為y=x²-x+4．

（3）在拋物線上不存在點P，使△PBC的面積等于矩形OABC的面積的．
由拋物線的對稱性可知，以拋物線頂點為P的△PBC面積最大，
由y=x²-x+4=（x-4）-可知，頂點坐標(biāo)為（4，-），
則△PBC的高為4+|-|=，S_△PBC=×8×=≈17.1，
S_矩形OABC=4×8=32，32×=19.2，
因為17.1＜19.2，
所以在拋物線上位于x軸下方的圖象上不存在點P，使△PBC的面積等于矩形OABC面積的．
分析：（1）根據(jù)條件易得OC，OD的長，就可以求出這兩點的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出函數(shù)的解析式．
（2）B，C，D三點的坐標(biāo)容以得到，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出函數(shù)的解析式．
（3）矩形OABC的面積可以求出．△PBC的底邊BC已知，可以設(shè)BC邊上的高線，就可表示出三角形的面積．根據(jù)△PBC的面積等于矩形OABC的面積的，就可以得到關(guān)于BC邊上的高線的方程，就可以解出高線長．進(jìn)而求出P點的縱坐標(biāo)的值．得到P點的坐標(biāo)．把P點的坐標(biāo)與拋物線的縱坐標(biāo)進(jìn)行比較就可以．
點評：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，注意數(shù)與形的結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．