Question

在?ABCD中，∠A=∠DBC，過點D作DE=DF，且∠EDF=∠ABD，連接EF、EC，N、P分別為EC、BC的中點，連接NP．
（1）如圖1，若點E在DP上，EF與DC交于點M，試探究線段NP與線段NM的數量關系及∠ABD與∠MNP滿足的等量關系，請直接寫出你的結論；
（2）如圖2，若點M在線段EF上，當點M在何位置時，你在（1）中得到的結論仍然成立，寫出你確定的點M的位置，并證明（1）中的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）由在?ABCD中，∠A=∠DBC，易證得△DBC是等腰三角形，又由△DEF是等腰三角形，利用三線合一的知識，可證得CD是EF的垂直平分線，然后由直角三角形的性質與三角形中位線的性質，證得結論；
（2）首先分別連接BE、CF；可證得△BDE≌△CDF，繼而利用三角形的內角和定理與三角形的外角的性質，證得結論．
解答：（1）答：NP=MN，∠ABD+∠MNP=180°；
證明：連接CF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A=∠BCD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∵∠A=∠DBC，
∴∠DBC=∠BCD，∠EDF=∠ABD，
∴DB=DC，∠BDC=∠EDF，
∵P是BC的中點，
∴DP⊥BC，∠PDC=∠BDC，
∴∠PDC=∠EDF，
∵DE=DF，
∴DM⊥EF，EM=FM，
∴FC=EC，
∵EN=CN，
∴MN∥FC，MN=FC，
在Rt△ECP中，N是EC的中點，
∴NP=EC，
∴NP=MN；
∵NP=NC=CE，
∴∠NPC=∠NCP，
∴∠ENP=2∠NCP，
∵EC=FC，EM=FM，
∴∠ECF=2∠ECM，
∵MN∥FC，
∴∠ENM=∠ECF=2∠ECM，
∵∠EDF=2∠EDC，
∴∠ABD+∠MNP=∠EDF+∠ENP+∠ENM=2∠EDC+2∠ECP+2∠ECM=2（∠DEC+∠ECP+∠ECM）=2（∠EDC+∠PCD）=2×90°=180°．

（2）答：點M是線段EF的中點．
證明：如圖，分別連接BE、CF．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥DC，∠A=∠DCB，
∴∠ABD=∠BDC．
∵∠A=∠DBC，
∴∠DBC=∠DCB．
∴DB=DC．①
∵∠EDF=∠ABD，
∴∠EDF=∠BDC．
∴∠BDC-∠EDC=∠EDF-∠EDC．
即∠BDE=∠CDF．②
又 DE=DF，③
由①②③得△BDE≌△CDF．
∴EB=FC，∠1=∠2．
∵N、P分別為EC、BC的中點，
∴NP∥EB，NP=．
同理可得 MN∥FC，MN=．
∴NP=NM．
∵NP∥EB，
∴∠NPC=∠4．
∴∠ENP=∠NCP+∠NPC=∠NCP+∠4．
∵MN∥FC，
∴∠MNE=∠FCE=∠3+∠2=∠3+∠1．
∴∠MNP=∠MNE+∠ENP=∠3+∠1+∠NCP+∠4=∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=180°-∠ABD．
∴∠ABD+∠MNP=180°．
點評：此題考查了平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質、直角三角形的性質、等腰三角形的性質以及線段垂直平分線的性質．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．