已知四邊形ABCD中,E、F分別是AB、AD邊上的點(diǎn),DE與CF交于點(diǎn)G.
(1)如圖①,若四邊形ABCD是矩形,且DE⊥CF,求證;
(2)如圖②,若四邊形ABCD是平行四邊形,試探究:當(dāng)∠B與∠EGC滿足什么關(guān)系時(shí),使得成立?并證明你的結(jié)論;
(3)如圖③,若BA=BC=6,DA=DC=8,∠BAD=90°,DE⊥CF,請(qǐng)直接寫出的值.
(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠A=∠ADC=90°,由DE⊥CF可得∠ADE=∠DCF,即可證得△ADE∽△DCF,從而證得結(jié)論;(2)當(dāng)∠B+∠EGC=180°時(shí);(3).
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠A=∠ADC=90°,由DE⊥CF可得∠ADE=∠DCF,即可證得△ADE∽△DCF,從而證得結(jié)論;
(2)在AD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)M,使CM=CF,則∠CMF=∠CFM.根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠A=∠CDM,再結(jié)合∠B+∠EGC=180°,可得∠AED=∠FCB,即可證得△ADE∽△DCM,從而證得結(jié)論;
(3)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)結(jié)合圖形特征求解即可.
(1)∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠A=∠ADC=90°,
∵DE⊥CF,
∴∠ADE=∠DCF,
∴△ADE∽△DCF,
∴;
(2)當(dāng)∠B+∠EGC=180°時(shí),成立,證明如下:
在AD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)M,使CM=CF,則∠CMF=∠CFM.
∵AB∥CD,
∴∠A=∠CDM,
∵∠B+∠EGC=180°,
∴∠AED=∠FCB,
∴∠CMF=∠AED.
∴△ADE∽△DCM,
∴,即
;
(3).
考點(diǎn):相似三角形的綜合題
點(diǎn)評(píng):此類問題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn),在中考中極為常見,一般以壓軸題形式出現(xiàn),難度較大.
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