Question

（1）如圖，已知在正方形ABCD中，M是AB的中點，E是AB延長線上一點，MN⊥DM且交∠CBE的平分線于N．試判定線段MD與MN的大小關系；
（2）若將上述條件中的“M是AB的中點”改為“M是AB邊上或AB延長線上任意一點”，其余條件不變．試問（1）中的結論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

證明：（1）取AD的中點H，連接HM，
∵四邊形ABCD是正方形，M為AB的中點，
∴BM=HD=AM=AH，
∴△AMH為等腰直角三角形，
∴∠DHM=135°，
而BN是∠CBE的平分線．
∴∠MBN=135°，
∴∠DHM=∠MBN，
又∵DM⊥MN，
∴∠NMB+∠AMD=90°，
又∵∠HDM+∠AMD=90°，
∴∠BMN=∠HDM，
，
∴△DHM≌△MBN（ASA），
∴DM=MN；

（2）DM=MN仍成立．
如圖1，在AD上取一點H，使DH=MB，連接HM，
∵四邊形ABCD是正方形，BN平分∠CBE，DM⊥MN，
∴∠MBN=135°，
∵AH=AM，
∴∠AHM=45°
∴∠DHM=135°，
∠BMN+∠AMD=90°，∠HDM+∠AMD=90°，
∴∠BMN=∠HDM，
∴△DHM≌△MBN，
∴DM=MN．
如圖2，若點M在AB的延長線上，
則在AD延長線上取點H，使DH=BM，連接HM．
∵DM⊥MN，即∠DMN=90°，
∴∠DMA+∠NME=90°，
又∵∠DMA+∠ADM=90°，
∴∠NME=∠ADM，
∴∠MDH=∠NMB（等角的鄰補角相等），
又∵BN為∠CBE的平分線，且∠CBE=90°，
∴∠NBM=45°，
∵AD=AB，DH=BM，
∴AD+DH=AB+BM，即AH=AM，且∠A=90°，
∴△AMH為等腰直角三角形，
∴∠MHD=45°，
∴∠MHD=∠NBM，
又∵DH=BM，∠MDH=∠NMB，
∴△DHM≌△MBN（ASA），
∴DM=MN．
分析：（1）取AD的中點H，連接HM，則BM=HD，由已知可推出∠DHM=∠MBN，∠BMN=∠HDM，從而利用ASA判定△DHM≌△MBN，從而得到DM=MN；
（2）在AD上取一點H，使DH=MB，連接HM，同理可證：△DHM≌△MBN，所以DM=MN；
點評：此題主要考查了學生對角平分線的性質，正方形的性質及全等三角形的判定等知識點的綜合運用．