Question

己知：二次函數(shù)y=ax²+bx+6（a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)A、點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是一元二次方程x²-4x-12=0的兩個(gè)根．
（1）請直接寫出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）請求出該二次函數(shù)表達(dá)式及對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）如圖1，在二次函數(shù)對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△APC的周長最小，若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（4）如圖2，連接AC、BC，點(diǎn)Q是線段0B上一個(gè)動點(diǎn)（點(diǎn)Q不與點(diǎn)0、B重合）．過點(diǎn)Q作QD∥AC交BC于點(diǎn)D，設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)（m，0），當(dāng)△CDQ面積S最大時(shí)，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）解一元二次方程x²-4x-12=0可求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)y=ax²+bx+6，可求二次函數(shù)解析式，配方為頂點(diǎn)式，可求對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）作點(diǎn)C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)C′，連接AC′，交拋物線對稱軸于P點(diǎn)，連接CP，P點(diǎn)即為所求；
（4）由DQ∥AC得△BDQ∽△BCA，利用相似比表示△BDQ的面積，利用三角形面積公式表示△ACQ的面積，根據(jù)S_△CDQ=S_△ABC-S_△BDQ-S_△ACQ，運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求面積最大時(shí)，m的值．
解答：解：（1）A（-2，0），B（6，0）；

（2）將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)y=ax²+bx+6，得
，
解得，
∴y=-x²+2x+6，
∵y=-（x-2）²+8，
∴拋物線對稱軸為x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，8）；

（3）如圖，作點(diǎn)C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)C′，連接AC′，交拋物線對稱軸于P點(diǎn)，連接CP，
∵C（0，6），
∴C′（4，6），設(shè)直線AC′解析式為y=ax+b，則
，
解得，
∴y=x+2，當(dāng)x=2時(shí)，y=4，
即P（2，4）；

（4）依題意，得AB=8，QB=6-m，AQ=m+2，OC=6，則S_△ABC=AB×OC=24，
∵由DQ∥AC，∴△BDQ∽△BCA，
∴=（）²=（）²，
即S_△BDQ=（m-6）²，
又S_△ACQ=AQ×OC=3m+6，
∴S=S_△ABC-S_△BDQ-S_△ACQ=24-（m-6）²-（3m+6）=-m²+m+=-（m-2）²+6，
∴當(dāng)m=2時(shí)，S最大．
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求拋物線解析式，根據(jù)拋物線的對稱性，相似三角形的知識解題．