Question

如圖，直線y=kx+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點，OA：OB=．以線段AB為邊在第二象限內(nèi)作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．
（1）求點A的坐標和k的值；
（2）求點C坐標；
（3）直線y=x在第一象限內(nèi)的圖象上是否存在點P，使得△ABP的面積與△ABC的面積相等？如果存在，求出點P坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）對于直線y=kx+2，令x=0，得到y(tǒng)=2，即B（0，2），OB=2，
∵OA：OB=，∴OA=1，即A（-1，0），
將x=-1，y=0代入直線解析式得：0=-k+2，即k=2；

（2）過C作CM⊥x軸，可得∠AMC=∠BOA=90°，
∴∠ACM+∠CAM=90°，
∵△ABC為等腰直角三角形，即∠BAC=90°，AC=BA，
∴∠CAM+∠BAO=90°，
∴∠ACM=∠BAO，
在△CAM和△ABO中，
，
∴△CAM≌△ABO（AAS），
∴AM=OB=2，CM=OA=1，即OM=OA+AM=1+2=3，
∴C（-3，1）；

（3）假設存在點P使得△ABP的面積與△ABC的面積相等，在直線y=x第一象限上取一點P，連接BP，AP，
設點P（m，m），
∴S_△ABP=S_△ABO+S_△BPO-S_△AOP=1+m-m=1+m，而S_△ABC=AB•AC=AB²=（1²+2²）=，
可得1+m=，
解得：m=2，
則P坐標為（2，1）．
分析：（1）對于直線y=kx+2，令x=0求出y的值，確定出B坐標，得到OB的長，根據(jù)OA與OB比值求出OA的長，確定出A坐標，代入直線方程即可求出k的值；
（2）過C作CM垂直于x軸，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，以及AC=AB，利用AAS得到三角形ACM與三角形BAO全等，由全等三角形對應邊相等得到CM=OA，AM=OB，由AM+OA求出OM的長，即可確定出C坐標；
（3）假設存在點P使得△ABP的面積與△ABC的面積相等，在直線y=x第一象限上取一點P，連接BP，AP，設點P（m，m），由三角形ABO面積+三角形BPO面積-三角形AOP面積表示出三角形ABP面積，求出三角形AOB面積，兩者相等求出m的值，即可確定出P坐標．
點評：此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標軸的交點，以及三角形面積求法，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關鍵．