【答案】
分析:(1)由題意可知,∠A′OA的度數(shù)和旋轉角的度數(shù)相同,可過A′作x軸的垂線,在構建的直角三角形中可根據(jù)OA′的長和∠A′OA的度數(shù)求出A′的坐標;
(2)已知了C,A′,A三點的坐標,可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;
(3)本題要分三種情況進行討論:
①以O為直角頂點,OA=OP=4,而OC=4,那么此時C點和P點重合,因此P點的坐標即為C點的坐標.
②以A為直角頂點,那么P點的坐標必為(4,4)或(4,-4).可將這兩個坐標代入拋物線的解析式中判定其是否在拋物線上即可.
③以P為直角頂點,那么P點在OA的垂直平分線上,且P點的坐標為(2,2)或(2,-2)然后按②的方法進行求解即可.
解答:
解:(1)過點A′作A′D垂直于x軸,垂足為D,則四邊形OB′A′D為矩形.
在△A′DO中,A′D=OA′•sin∠A′OD=4×sin60°=2
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,
OD=A′B′=AB=2,
∴點A′的坐標為(2,2
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);
(2)∵C(0,4)在拋物線上,
∴c=4,
∴y=ax
2+bx+4,
∵A(4,0),A′(2,2

),在拋物線y=ax
2+bx+4上,
∴

,
解之得

,
∴所求解析式為y=
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+(2
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-3)x+4;
(3)①若以點O為直角頂點,由于OC=OA=4,點C在拋物線上,則點P(0,4)為滿足條件的點.
②若以點A為直角頂點,則使△PAO為等腰直角三角形的點P的坐標應為(4,4)或(4,-4),代入拋物線解析式中 知此兩點不在拋物線上.
③若以點P為直角頂點,則使△PAO為等腰直角三角形的點P的坐標應為(2,2)或(2,-2),代入拋物線解析式中 知此兩點不在拋物線上.
綜上述在拋物線上只有一點P(0,4)使△OAP為等腰直角三角形.
點評:本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形旋轉變換、等腰直角三角形的構成情況等知識點,綜合性強,考查學生分類討論,數(shù)形結合的數(shù)學思想方法.