Question

設(shè)正整數(shù)m，n，滿足m＜n，且

1

m2+m

+

1

(m+1)2+(m+1)

+…+

1

n2+n

=

1

23

，則m+n的值是

 

．

Answer 1

分析：因?yàn)?span id="rl3xlqv" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1

n2+n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，所以可對(duì)分式進(jìn)行化簡(jiǎn)得到

1

n

-

1

m+1

=

1

23

，從而求得m，n的值．

解答：解：∵

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

，
∴

1

m2+m

+

1

(m+1)2+(m+1)

+…+

1

n2+n

，
=

1

m

-

1

m+1

+

1

m+1

-

1

m+2

+…+

1

n

-

1

n+1

，
=

1

m

-

1

n+1

=

1

23

=

22

23×22

，
∴m=22，n+1=23×22=506，n=505，
m+n=527．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是看到

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

這個(gè)規(guī)律，進(jìn)行化簡(jiǎn)求解．