Question

小明利用等距平行線解決了二等分線段的問題．
作法：
（1）在e上任取一點(diǎn)C，以點(diǎn)C為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧交c于點(diǎn)D，交d于點(diǎn)E；
（2）以點(diǎn)A為圓心，CE長(zhǎng)為半徑畫弧交AB于點(diǎn)M；
∴點(diǎn)M為線段AB的二等分點(diǎn)．
解決下列問題：（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）
（1）仿照小明的作法，在圖2中作出線段AB的三等分點(diǎn)；
（2）點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)部一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，請(qǐng)找出一個(gè)滿足下列條件的點(diǎn)P．（可以利用圖1中的等距平行線）
①在圖3中作出點(diǎn)P，使得PM=PN；    ②在圖4中作出點(diǎn)P，使得PM=2PN．

Answer 1

分析：（1）作法：①在e上任取一點(diǎn)C，以點(diǎn)C為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧交b于點(diǎn)D，交d于點(diǎn)E，交c于點(diǎn)F；②以點(diǎn)A為圓心，CE長(zhǎng)為半徑畫弧交AB于點(diǎn)P₁，再以點(diǎn)B為圓心，CE長(zhǎng)為半徑畫弧交AB于點(diǎn)P₂；則點(diǎn)P₁、P₂為線段AB的三等分點(diǎn)；
（2）①以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于G，交OB于H；在d上任取一點(diǎn)C，以點(diǎn)C為圓心，GH長(zhǎng)為半徑畫弧交b于點(diǎn)D，交c于點(diǎn)E；以點(diǎn)G為圓心，CE長(zhǎng)為半徑畫弧交GH于點(diǎn)P；則P點(diǎn)為所求； 
②以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于G，交OB于H；在d上任取一點(diǎn)C，以點(diǎn)C為圓心，GH長(zhǎng)為半徑畫弧交a于點(diǎn)D，交c于點(diǎn)E，交b于點(diǎn)F；②以點(diǎn)G為圓心，CF長(zhǎng)為半徑畫弧交GH于點(diǎn)P；則則P點(diǎn)為所求．

解答：解：（1）如下圖所示，點(diǎn)P₁、P₂為線段AB的三等分點(diǎn)；


（2）①如下圖所示，點(diǎn)P即為所求；

②如下圖所示，點(diǎn)P即為所求．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，學(xué)生的閱讀理解能力及知識(shí)的遷移能力，理解等距平行線的含義及平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．