Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，點E、F分別是BC、CD上的動點（不與點B，C，D重合），且∠EAF=45°，AE、AF與對角線BD分別相交于點G、H，連接EH、EF，則下列結(jié)論：

① △ABH∽△GAH； ② △ABG∽△HEG； ③ AE=AH； ④ EH⊥AF； ⑤ EF=BE+DF

其中正確的有（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

Answer 1

【答案】D

【解析】①∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABD=45°，∵∠EAF=45°,

∴∠ABD=∠EAF,

又∵∠AHB=∠AHB,

∴△ABH∽△GAH. ∴①正確；

②∵∠DBC=∠EAF=45°,

∴A，B，E，H四點共圓，

∴∠ABH=∠AEH=45°，

又∵∠BGA=∠EGH,

∴△ABG∽△HEG, ∴②正確；

③∵∠HAE=∠AEH=45°,

∴△AEH為等腰直角三角形，

∴AE=AH，

∴③正確；

④由③得△AEH為等腰直角三角形，

∴EH⊥AF，

∴④正確；

⑤把△ABE逆時針旋轉(zhuǎn)90得到△ADM，

∴BE=MD，AE=AM，

∵∠EAF=45，

∴∠FAM=9045=45，

∴∠EAF=∠FAM，

在△AEF和△AMF中，

∴△AEF≌△AMF(SAS)，

∴EF=MF，

即EF=MD+DF，

∴EF=BE+DF；故⑤正確；

故選D.

點睛:在正方形條件下證明三角形相似,通常利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),角平分線性質(zhì),勾股定理等知識來證明;證明線段之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系一般會利用全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)等來解決.