Question

如圖，在⊙O中，弦AB與半徑相等，連接OB并延長，使BC=OB．
（1）試判斷直線AC與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）請你在⊙O上找到一個點D，使AD=AC（完成作圖，證明你的結論），并求∠ABD的度數．

Answer 1

（1）解：AC與⊙O相切．（1分）
證明：如圖，∵AB與半徑相等，即AB=OA=OB，
∴△OAB為等邊三角形，
∴∠OAB=60°，∠OBA=60°．
∵BC=OB=AB，
∴∠BAC=∠C=30°，
∴∠OAC=90°，（2分）
∴AC與⊙O相切．

（2）延長BO交⊙O于D，連接AD，則必有AD=AC．（3分）
證明：∵∠BOA=60°，OA=OD，
∴∠D=30°．
又∵∠C=30°，
∴∠C=∠D，
∴AD=AC．（4分）
∵△OAB為等邊三角形，
∴∠ABD=60°．（5分）
或作AD₁⊥OC交⊙O于D₁，交OC于E，連接BD₁，則必有AD₁=AC．（3分）
證明：∵∠C=30°，AD₁⊥OC，
∴AE=AC．
又∵AE=AD₁，
∴AC=AD₁．（4分）
由OE⊥AD1，得到=，
∴∠BAD₁=∠BD₁A=∠AOB=30°，
∴∠ABD₁=120°．（5分）
分析：（1）由線段AB與兩半徑的相等得出三角形AOB為等邊三角形，根據等邊三角形的性質可知∠OAB和∠OBA都為60度，根據等邊對等角及外角的性質可得出∠BAC=30°，進而得到∠OAC=90°，由OA是圓的半徑，即可得到AC是圓的切線；
（2）分兩種情況考慮：延長BO交⊙O于D，連接AD，則必有AD=AC，原因為：根據同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，得到∠D=30°，進而得到∠D與∠C相等，根據等角對等邊得到AD=AC，求出此時∠ABD的度數；作AD₁⊥OC交⊙O于D₁，交OC于E，連接BD₁，則必有AD₁=AC．原因為：在直角三角形ACE中，根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得到AE等于AC的一半，再根據垂徑定理得到AE等于AD₁的一半，故AC與AD₁相等，求出此時∠ABD的度數．
點評：本題考查切線的性質和判定及圓周角定理的綜合運用，考查了分類討論的數學思想．學生在作第二問時應注意審清題意，畫出圖形，然后分類作答．