Question

已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD（AD＞AB），將紙片折疊一次，使點A與C重合，再展開，折痕EF交AD邊于E，交BC邊于F，分別連接AF和CE．
（1）求證：四邊形AFCE是菱形；
（2）若AE=10cm，△ABF的面積為24cm²，求△ABF的周長；
（3）在線段AC上是否存在一點P，使得2AE²=AC•AP？若存在，請說明點P的位置，并予以證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：連接EF交AC于O，
當頂點A與C重合時，折痕EF垂直平分AC，
∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∴△AOE≌△COF（ASA）．
∴OE=OF
∴四邊形AFCE是菱形．

（2）解：四邊形AFCE是菱形，∴AF=AE=10．
設AB=x，BF=y，∵∠B=90，
∴（x+y）²-2xy=100①
又∵S_△ABF=24，∴xy=24，則xy=48．②
由①、②得：（x+y）²=196
∴x+y=14，x+y=-14（不合題意舍去）
∴△ABF的周長為x+y+AF=14+10=24．

（3）解：過E作EP⊥AD交AC于P，則P就是所求的點．
證明：由作法，∠AEP=90°，
由（1）得：∠AOE=90°，又∠EAO=∠EAP，
∴△AOE∽△AEP，
∴=，則AE²=AO•AP
∵四邊形AFCE是菱形，∴AO=AC，AE²=AC•AP
∴2AE²=AC•AP
即P的位置是：過E作EP⊥AD交AC于P．
分析：（1）因為是對折所以AO=CO，利用三角形全等證明EO=FO，四邊形便是菱形；
（2）因為面積是24，也就是AB、BF的積可以求出，所以求周長只要求出AB、BF的和就可以，而結合勾股定理它們和的平方減去乘積二倍就是AF的平方；
（3）因為AC=AO所以可以從與△AOE相似的角度考慮，即過E作EP⊥AD．
點評：本題主要考查（1）菱形的判定方法“對角線互相垂直且平分的四邊形”，（2）相似三角形的判定和性質．