Question

【題目】有一塊含30°角的直角三角板OMN，其中∠MON＝90°，∠NMO＝30°，ON＝2，將這塊直角三角板按如圖所示位置擺放．等邊△ABC的頂點B與點O重合，BC邊落在OM上，點A恰好落在斜邊MN上，將等邊△ABC從圖1的位置沿OM方向以每秒1個單位長度的速度平移，邊AB，AC分別與斜邊MN交于點E，F（如圖2所示），設△ABC平移的時間為t（s）（0＜t＜6）．

（1）等邊△ABC的邊長為　 　；

（2）在運動過程中，當　 　時，MN垂直平分AB；

（3）當0＜t＜6時，求直角三角板OMN與等邊△ABC重疊部分的面積S與時間t之間的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）3；（3）.

【解析】

（1）根據，∠OMN＝30°和△ABC為等邊三角形，求證△OAM為直角三角形，然后即可得出答案．

（2）易知當點C與M重合時直線MN平分線段AB，此時OB＝3，由此即可解決問題；

（3）分兩種情形分別求解：當0＜t≤3時，作CD⊥FM于D．根據S＝S△MEB﹣2S△MDC，計算即可．②當3＜t＜6時，S＝S△MEB．

解：（1）在Rt△MON中，∵∠MON＝90°，ON＝2，∠M＝30°

∴OM＝ON＝6，

∵△ABC為等邊三角形

∴∠AOC＝60°，

∴∠OAM＝90°

∴OA⊥MN，即△OAM為直角三角形，

∴OA＝OM＝×6＝3．

故答案為3．

（2）易知當點C與M重合時直線MN平分線段AB，此時OB＝3，所以t＝3．

故答案為3．

（3）易知：OM＝6，MN＝4，S△OMN＝×2×6＝6，

∵∠M＝30°，∠MBA＝60°，

∴∠BEM＝90°．

①當0＜t≤3時，作CD⊥FM于D．

∵∠ACB＝60°，∠M＝30°，∠FCB＝∠M+∠CFM，

∴∠CFM＝∠M＝30°，

∴CF＝CM，

∵CD⊥FM，

∴DF＝DM，

∴S△CMF＝2S△CDM，

∵△MEB∽△MON，

∴，

∴S△MEB＝，

∵△MDC∽△MON，

∴，

∴S△MDC＝，

∴S＝S△MEB﹣2S△MDC＝﹣．

②當3＜t＜6時，S＝S△MEB＝，

綜上所述，S＝ ．