Question

正方形ABCD中，點O是對角線DB的中點，點P是DB所在直線上的一個動點，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．
（1）當點P與點O重合時（如圖①），猜測AP與EF的數量及位置關系，并證明你的結論；
（2）當點P在線段DB上（不與點D、O、B重合）時（如圖②），探究（1）中的結論是否成立？若成立???寫出證明過程；若不成立，請說明理由；
（3）當點P在DB的長延長線上時，請將圖③補充完整，并判斷（1）中的結論是否成立？若成立，直接寫出結論；若不成立，請寫出相應的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AC，則AC必過O點，延長FO交AB于M，由于O是BD中點，易證得△AOM≌△FOE，則AO=EF，且∠AOM=∠FOC=∠OFE=45°，由此可證得AP⊥EF．
（2）方法與①類似，延長FP交AB于M，延長AP交BC于N，易證得四邊形MBEP是正方形，可證得△APM≌△FEP，則AP=EF，∠APM=∠FEP；而∠APM=∠FPN=∠PEF，且∠PEF與∠PFE互余，故∠PFE+∠FPN=90°，由此可證得AP⊥EF，所以（1）題的結論仍然成立．
（3）解題思路和方法同（2）．
解答：解：（1）AP=EF，AP⊥EF，理由如下：
連接AC，則AC必過點O，延長FO交AB于M；
∵OF⊥CD，OE⊥BC，且四邊形ABCD是正方形，
∴四邊形OECF是正方形，
∴OM=OF=OE=AM，
∵∠MAO=∠OFE=45°，∠AMO=∠EOF=90°，
∴△AMO≌△FOE（AAS），
∴AO=EF，且∠AOM=∠OFE=∠FOC=45°，即OC⊥EF，
故AP=EF，且AP⊥EF．

（2）題（1）的結論仍然成立，理由如下：
延長AP交BC于N，延長FP交AB于M；
∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE=90°，且∠MBP=∠EBP=45°，
∴四邊形MBEP是正方形，
∴MP=PE，∠AMP=∠FPE=90°；
又∵AB-BM=AM，BC-BE=EC=PF，且AB=BC，BM=BE，
∴AM=PF，
∴△AMP≌△FPE（SAS），
∴AP=EF，∠APM=∠FPN=∠PEF
∵∠PEF+∠PFE=90°，∠FPN=∠PEF，
∴∠FPN+∠PFE=90°，即AP⊥EF，
故AP=EF，且AP⊥EF．

（3）題（1）（2）的結論仍然成立；
如右圖，延長AB交PF于H，證法與（2）完全相同．
點評：充分利用正方形的性質，靈活的構造全等三角形，并能夠根據全等三角形的性質來得到所求的條件是解決此題的關鍵．