Question

【題目】如圖1，一張矩形紙片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿對(duì)角線(xiàn)BD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′的位置，BC′交AD于點(diǎn)G．

　　　

（1）求證：BG=DG；

（2）求C′G的長(zhǎng)；

（3）如圖2，再折疊一次，使點(diǎn)D與A重合，折痕EN交AD于M，求EM的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）cm；（3）．

【解析】

（1）由折疊性質(zhì)知∠A=∠C′，AB=C′D，再利用“AAS”證△GAB≌△GC′D得BG=DG；
（2）設(shè)C′G=x，由全等性質(zhì)知GD=BG=8-x，再在Rt△ABG中，利用勾股定理得x2+62=（8-x）2，解之可得答案；
（3）先求出BD=10，再證MN是△ABD的中位線(xiàn)得DN=BD=5cm，MN=3cm，證EN=ED，設(shè)EM=x，則ED=EN=x+3，由勾股定理得ED2=EM2+DM2，即（x+3）2=x2+42，解之可得答案．

解：（1）證明：沿對(duì)角線(xiàn)對(duì)折，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，

,，

在與中，

，

（AAS），

；

（2）

設(shè)，則，

∴，

∴，

∴cm；

（3）點(diǎn)與點(diǎn)重合，得折痕，

，

,，

在中，，

,，

，

是的中位線(xiàn)，

，

在中，

，

由折疊的性質(zhì)可知，

，

，

，

，

設(shè)，則，

由勾股定理得，即，

解得，即.