Question

如圖，△ABC內接于⊙O，AB為⊙O的直徑，∠BAC=2∠B，AC=6，過點A作⊙O的切線與OC的延長線交于點P．
（Ⅰ）求證：△OAC是等邊三角形；
（Ⅱ）求PA的長．

Answer 1

（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠BCA=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
又∵∠BAC=2∠B，
∴3∠B=90°，
∴∠B=30°，∠BAC=60°，
∵OA=OC，
∴△OAC是等邊三角形；

（2）解：∵過點A作⊙O的切線與OC的延長線交于點P，
∴∠OAP=90°，
∵△OAC是等邊三角形，AC=6，
∴∠AOP=60°，OA=6，
∴tan60°=，
∴PA=AOsin60°=6．
分析：（1）利用圓周角定理的推論得出∠BCA=90°，進而利用∠BAC=2∠B，得出∠BAC=60°，再利用等邊三角形的判定得出；
（2）根據（1）中所求的出∠AOP=60°，OA=6，進而利用銳角三角函數關系得出PA的長．
點評：此題主要考查了切線的性質定理以及等邊三角形的判定與性質和銳角三角函數關系等知識，根據已知得出∠BAC=60°是解題關鍵．