Question

【題目】已知：拋物線 的頂點(diǎn)為A，與x軸的交點(diǎn)為B，C（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)）.

(1)直接寫出拋物線對(duì)稱軸方程；

（2）若拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且△ABC為直角三角形，求a，b的值；

（3）若D為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，則以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形能否為正方形？若能，請(qǐng)寫出a，b滿足的關(guān)系式；若不能，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）拋物線對(duì)稱軸方程：.（2），或，.（3）.

【解析】

（1）根據(jù)y=a（x-2）2+b直接得出答案；

（2）根據(jù)直線x=2與x軸交于點(diǎn)E，則E（2，0），以及拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，得出B（0，0），C（4，0），進(jìn)而求出AE=BE=EC，當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)為A（2，-2）時(shí)，以及當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)為A′（2，2）時(shí)求出即可；

（3）根據(jù)B、C關(guān)于點(diǎn)E中心對(duì)稱，當(dāng)A，D也關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，且BE=AE時(shí)，四邊形ABDC是正方形，即可求出．

（1）拋物線對(duì)稱軸方程：直線x=2．

（2）如圖，

設(shè)直線x=2與x軸交于點(diǎn)E，則E（2，0）．

∵拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，

∴B（0，0），C（4，0）．（3分）

∵△ABC為直角三角形，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知AB=AC，

∴AE=BE=EC，

∴A（2，-2）或（2，2）．

當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)為A（2，-2）時(shí)，y=a（x-2）2-2，

把（0，0）代入，得：a＝，

此時(shí)，b=-2．

當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)為A′（2，2）時(shí)，y=a（x-2）2+2，

把（0，0）代入，得：a＝，此時(shí)，b=2．

∴a＝，b=-2或a＝，b=2．

（3）依題意，B、C關(guān)于點(diǎn)E中心對(duì)稱，當(dāng)A，D也關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，且BE=AE時(shí)，四邊形ABDC是正方形．

∵A（2，b），

∴AE=|b|，

∴B（2-|b|，0），

把B（2-|b|，0）代入y=a（x-2）2+b，得ab2+b=0，

∵b≠0，

∴abb+b=0，

∴b=-ab2，即=-1，-ab=1，

∴ab=-1．