Question

【題目】已知：如圖，一條直線上依次有A、B、C三點．

（1）若BC＝60，AC＝3AB，求AB的長；

（2）若點D是射線CB上一點，點M為BD的中點，點N為CD的中點，求的值；

（3）當點P在線段BC的延長線上運動時，點E是AP中點，點F是BC中點，下列結論中：

①是定值；

②是定值．其中只有一個結論是正確的，請選擇正確結論并求出其值．

Answer 1

【答案】（1）AB＝15；（2）2;（3）①見解析;②見解析.

【解析】

（1）由AC=AB+BC=3AB可得；

（2）分三種情況：①D在BC之間時②D在AB之間時③D在A點左側時；

（3）分三種情況討論：①F、E在BC之間，F在E左側②F在BC之間，E在CP之間③F、E在BC之間，F在E右側；

（1）∵BC＝60，AC＝AB+BC＝3AB，

∴AB＝15；

（2）∵點M為BD中點，點N為CD中點，

∴BM＝BD，DN＝NC，

①D在BC之間時：

BC＝BD+CD＝2MD+2DN＝2MN，

∴＝2；

②D在AB之間時：

BC＝DC﹣DB＝2DN﹣2MB＝2（BN+2MB）﹣2MB＝2BN+2MB＝2MN，

∴＝2；

③D在A點左側時：

BC＝DN+NB＝MN+DN﹣NB＝MN+MB﹣NB＝MN+MN+NB﹣NB＝2MN，

∴＝2；

故＝2；

（3）點E是AP的中點，點F是BC的中點．

∴AE＝EP，BF＝CF，

①

EF＝FC﹣EC＝BC﹣AC+AE＝（AC﹣AB）﹣AC+AE＝AE﹣AB＝AC，

BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，

AC﹣BP＝AC﹣2AE+AB，

∴＝2．

②

EF＝BC+CE＝BC+AE﹣AC＝（AC﹣AB）+AE﹣AC＝AE﹣AB﹣AC，

BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，

AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE，

∴＝2．

③

EF＝CE﹣CF＝CE﹣BC＝AC﹣AE﹣BC＝AC﹣AE﹣（AC﹣AB）＝AC﹣AE+AB，

BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，

∴AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE，

∴＝2．